7.5.44. Скин-эффект переменных токов, проходящих по цилиндрическому проводнику круглого сечения.

Дан бесконечный проводящий цилиндрический провод круглого сечения, по которому течет переменный электрический ток (рис. 7.36).

Рис. 7.36.

Пусть а будет плотность тока в точке, находящейся на расстоянии х от оси провода. Эта плотность будет функцией х и она одинакова для всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от оси. Рассмотрим цилиндрическую оболочку толщиной и радиусом х. Сила тока, проходящего через оболочку, равна

Магнитное поле, вызванное этим током, в точке находящейся на расстоянии от оси равно

Магнитное поле, вызванное всеми линиями тока, расположенными в точках будет

Это выражение, продифференцированное по дает

что можно записать в виде

Если через обозначить удельное сопротивление вещества, из которого состоит провод, то электродвижущая сила, приложенная к линии тока будет

где I — расстояние между точками Электродвижущая сила вдоль линии тока на расстоянии от оси будет

В плоском контуре электродвижущая сила равна Она равна электродвижущей силе, наведенной полем Поэтому можно написать

иначе говоря,

Продифференцируем по t уравнение

Получаем

или

Если предположить, что ток синусоидален, а частота его равна то и дифференциальное уравнение для а получит вид

Положив

получим уравнение

общее решение которого равно

Плотность о при имеет конечное значение, поэтому постоянная интегрирования В должна быть принята равной нулю. Отсюда

Пусть радиус провода, а плотность тока на его поверхности. Она определяет значение коэффициента А. Можно написать

Приняв фазовый угол на поверхности провода за начало отсчета фаз, получим

Если велико, фазовый угол может быть намного больше Следовательно, внутри провода могут существовать области, в которых токи имеют противоположное направление. Величина это значение амплитуды плотности тока на расстоянии от оси.

Рис. 7.37.

Рис. 7.37 дает представление о плотности тока как функции расстояния от оси для цилиндрического медного провода радиусом в при частотах 20 000 и 200 000 гц

Спектр волны, модулированной по частоте. Выражение для синусоидальной волны, модулированной по частоте, будет

где постоянная, также постоянная, называемая центральной круговой частотой; член (За производная фазы, вызванной низкочастотным сигналом

Если считать величину безразмерной, а ее наибольшее значение равным единице, что всегда возможно, то величина (3 будет обозначать наибольшее отклонение круговой частоты и будет зависеть только от амплитуды низкочастотного сигнала, а не от закона его изменения, целиком представленного функцией

Если модуляция наложена синусоидальным низкочастотным сигналом с круговой частотой а, то

В этом случае мы получим для волны, модулированной по частоте сигналом, выражение

Безразмерное выражение называется индексом модуляции. Оно вводит в рассмотрение две величины: а, характеризующую частоту модуляции, и , характеризующую амплитуду модуляции или, скорее, отклонение частоты. При первом взгляде на механизм модуляции частоты, описанный выше, может показаться, что поскольку круговая частота изменяется от до то должна существовать очень узкая полоса частот, равная всего Если бы это было так, то модуляция частоты открыла бы почти безграничные возможности для сосредоточивания работы передатчиков в очень узкой полосе частот. Действительно, из всех физических измерений, которые сейчас умеют осуществлять, самое точное — это измерение частоты. Поэтому было бы очень легко выявлять модуляцию частоты, в которой отклонение частоты очень мало — порядка 10 от центральной частоты Волна в занимала бы тогда полосу всего в 20 гц. К сожалению,

предыдущее рассуждение весьма неточно. Действительно, рассмотрим выражение для волны, модулированной по частоте:

Используя формулу для синуса суммы двух углов, находим

Применяя формулы (53) и (54), дающие разложение в ряд получаем

Эта формула показывает, что векторное представление комплексной волны содержит векторы модуляции, соответствующие частотам одни в фазе, другие сдвинутые по фазе на у по отношению к несущей волне.

Используя формулу (22), простым преобразованием произведения тригонометрических функций получаем

Из последней формулы вытекает, что спектр амплитуд — это линейчатый спектр частоты которого равны

а амплитуды пропорциональны

Следовательно, при чисто синусоидальной модуляции спектр амплитуд составляющих колебаний симметричен и теоретически не ограничен. Фактически его можно считать ограниченным из-за свойства бесселевой функции становиться пренебрежимо малой, когда ее индекс становится значительно больше аргумента z.

Можно легко оценить практическую полуширину спектра, подсчитав по таблицам пп. 7.5.47 и 7.5.48 для малых значений и по рис. 7.17 для больших значений величину начиная с которой амплитуды будут меньше 0,001 или 0,005 и могут, таким образом, считаться пренебрежимо малыми. Если это значение обозначим через то практическая ширина спектра будет

или, если обозначить через частоту модуляции,

Можно также задаться вопросом, каково значение индекса модуляции, ниже которого спектр практически сводится к несущей частоте и двум первым боковым линиям. Для этого нужно взять таким, чтобы было пренебрежимо мало, например меньше 0,005. Рассмотрев значения функции мы видим, что это имеет место при Значит только при значениях индекса модуляции, существенно меньших единицы, компактность по частоте при частотной модуляции оказывается практически такой же, как при амплитудной модуляции.

Следует заметить, что по своему строению такой сокращенный спектр, несмотря на внешнее сходство, отличен от спектра при амплитудной модуляции, так как между частотой боковых линий и несущей частотой имеется сдвиг по фазе в

Рис. 7.38. (см. скан)

Для некоторых значений индекса модуляции может иметь место исчезновение несущей частоты или линий, правильно расположенных относительно этой частоты. Линии исчезают? если является корнем Эти корни даны в таблице п. 7.5.49. В частности, несущая частота исчезает при

- корнях функции Это свойство очень ценно при некоторых измерениях.

Рис. 7.38 показывает, как возрастает сложность спектра волны, модулированной по частоте, если увеличивать индекс модуляции. Цифры у вертикальных черточек характеризуют величину амплитуд различных гармоник.

Модуляция по нескольким частотам. Мы уже видели, что спектр амплитуд волны, модулированной по частоте чисто синусоидальным сигналом, всегда симметричен по отношению к несущей частоте. Однако это не так, если модуляция наложена суммой некоторого числа синусоидальных функций, когда между соответствующими круговыми частотами существуют простые линейные соотношения.

Рассмотрим сигнал модуляции

Члены будут частными индексами модуляции Функция и в комплексном обозначении будет иметь вид

Формула позволяет записать и в виде

Это выражение делает очевидным присутствие в сигнале круговых частот

с амплитудами, пропорциональными

Для противоположных по знаку значений произведение под знаком суммы будет, с точностью до знака, иметь одно и то же значение. Амплитуды будут равны; следовательно, спектр симметричен.

Иначе обстоит дело в часто встречающемся случае, когда модулирующий сигнал вместо того, чтобы содержать синусоидальные функции с несоизмеримыми круговыми частотами, содержит две или несколько синусоидальных функций, круговые частоты которых находятся в простом соотношении. В частности, это будет в случае модуляции периодическим сигналом, разложенным в ряд Фурье.

Например, если между круговыми частотами имеется соотношение

мы получим одну и ту же частоту, иначе говоря, одну и ту же линию

для значений и для значений Результирующая амплитуда будет иметь вид

Значения, противоположные по знаку предыдущим, т. е. приведут к частоте, симметричной ранее полученной по отношению к несущей частоте. Но результирующая амплитуда в этом случае будет

Это выражение не равно предыдущему, так как суммы индексов обоих произведений разной четности (см. формулу (22)). Спектр в этом случае не будет симметричен.