9.1.25. Наивероятнейшее значение меры точности.

Если дана совокупность измерений искаженных ошибками то наиболее вероятное значение величины должно, в силу формулы (38), обратить в максимум величину

Поэтому наиболее вероятное значение величины должно обратить в нуль производную этого выражения, откуда следует

Таким образом, нормальный закон распределения полностью определен. Точность совокупности измерений определяется одной из следующих трех величин.

1. Средняя арифметическая ошибка:

Приближенноезначение величины равно

2. Средняя квадратическая ошибка:

3. Срединная ошибка (вероятная ошибка, медианная ошибка). Это такая ошибка, которая с одинаковой вероятностью может быть как превзойдена, так и не достигнута. Это определение выражается равенством

откуда

Все три величины связаны между собой соотношениями:

Геометрический смысл этих величин очень прост: это абсцисса прямой, параллельной оси и разделяющей площадь А, заключенную между осями координат и кривой Гаусса при на две равные части; абсцисса

центра тяжести этой площади; радиус инерции плошади А или абсцисса точки перегиба кривой Гаусса.

Величины изображены на рис. 9.6. Любая из них может служить для характеристики точности группы опытов. Удобно определять на основании величины которую легко вычислять. Чаще других пользуются величиной по той простой причине, что она меньше двух других.

Величины легко получить как функции отклонений На основании системы уравнений (42) и формулы (43) получим

Формулы (46) и (47) более удобны, чем формулы (44) и (45); они выражают ошибки как функции отклонений так как это известные из опыта величины, чего нельзя сказать об истинных ошибках Однако практически даже при малых значениях (порядка десяти) между этими двумя группами формул большой разницы нет.

Наиболее вероятное или среднее арифметическое значение следует нормальному закону распределения с мерой точности, определяемой формулой (41), где Следовательно, эта мера точности равна

она изменяется пропорционально квадратному корню из числа измерений. Казалось бы, что, увеличивая число измерений, можно до бесконечности увеличивать точность. Однако если теоретически можно получить еще одну значащую цифру, перейдя от одного единственного измерения к 100 измерениям, или от группы в 10 измерений к 1000 измерениям, то практически получение такого выигрыша весьма сомнительно. Действительно, следует опасаться, что при тысячном измерении измеряемая физическая величина будет уже не совсем та, что вначале. Другими словами, в условиях опыта могут иметь место небольшие изменения, которые воздействуют на результат неслучайным образом. Это более чем вероятно, так как серия в 1000 измерений должна продолжаться значительное время. Поэтому не принято делать большие серии измерений и число редко бывает больше 10.

Все сказанное хорошо согласуется с простым здравым смыслом. Лучше усовершенствовать, экспериментальный метод, чем увеличивать число измерений; 10 хороших измерений полезнее, чем 1000 посредственных.