5.1.7. Симметрия и антисимметрия.
Рассмотрим случай тензоров второй валентности. Как мы видели, такие тензоры бывают трех видов: дважды контравариантные 
дважды ковариантные 
и смешанные 
Остановимся сначала на тензорах первых двух видов. Они называются симметричными, если
и антисимметричными, если
Симметричность или антисимметричность есть свойство тензора, которое не изменяется при преобразовании координат. Обозначим через 
величину ±1. Согласно определению, мы имеем в этом случае для дважды контравариантного тензора
Пусть 
его компонента после любого преобразования координат. Покажем, что будет также иметь место равенство
Действительно,
Аналогичными выкладками можно показать, что если 
то 
Смешанный тензор 
не может быть симметричным или антисимметричным, потому что если бы это свойство имело место при каком-то частном выборе системы координат, то оно не сохранилось бы при преобразовании координат. Действительно, положим, что в некоторой системе координат
После преобразования координат получим
Видим, что 
не равно 
Полученные результаты легко обобщить на случай тензоров более высоких валентностей, симметричных или антисимметричных по двум индексам непременно одинаковой вариантности (т. е. оба индекса должны быть нижними или оба верхними). Их можно также легко обобщить на случай тензоров любой валентности, в которых условия симметричности или антисимметричности рассматриваются более чем для двух индексов обязательно одинаковой вариантности. Это обобщение очень просто по отношению к симметричности. Пусть дан тензор 
в котором условия симметричности рассматриваются по отношению к четырем контравариантным индексам а, [3, у, 8. Условие симметричности состоит в том, что
если через 
обозначить любую перестановку индексов 
Что касается антисимметричности, то здесь обобщение сложнее, так как при этом встает вопрос о знаках. Обозначим по-прежнему 
через 
Условие антисимметричности состоит в том, что
где 
по-прежнему означает любую перестановку индексов 
.
Если перестановка 
четная, т. е. если имеет место перехед от 
путем четного числа перестановок букв (например, 
четная перестановка), то 
будет равно 
Если перестановка 
нечетная, т. е. если имеет место переход от 
путем нечетного числа перестановок букв (например, 
нечетная перестановка), то 
будет равно —1.
Представляет интерес частный случай тензора порядка 
антисимметричного по отношению ко всем своим индексам, которые либо ковариантны, либо контравариантны. Простой расчет показывает, что число существенных (не совпадающих по абсолютной величине) компонент, отличных от нуля, вместо 
составит 
.
