Применение теоремы о вычетах к вычислению некоторых определенных интегралов

1.3.21. Интегралы вида ...

-рациональная функция , конечная внутри промежутка интегрирования). Положим Имеем

Интеграл получает вид где С — окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Этот интеграл равен если через

обозначить сумму вычетов относительно полюсов, заключенных внутри окружности С.

Пример. Вычислить

Имеем

Единственный полюс, заключенный внутри круга радиуса кратность его равна двум. Найдем вычет относительно этого полюса:

Следовательно,

1.3.22. Интегралы вида ...

Пусть функция вещественной переменной х, удовлетворяющая следующим условиям:

а) голоморфна во всей полуплоскости, расположенной над вещественной осью, исключая конечное число полюсов;

б) не имеет полюсов на вещественной оси;

в) если стремится к бесконечности, то стремится к нулю равномерно относительно аргумента z, изменяющегося от до те.

Легко показать, что равен где представляет собой сумму вычетов относительно полюсов функции расположенных над вещественной осью.

Рис. 1.33.

Для доказательства достаточно рассмотреть (рис. 1.33) контур интегрирования, состоящий из части вещественной оси между и полуокружности с центром О и радиусом причем настолько велико, что все полюса функции находятся внутри Если устремлять к бесконечности, то часть интеграла, соответствующая стремится к нулю в силу допущения в). Следовательно,

Пример. Вычислить

Положим рассматриваемая функция имеет единственный полюс над вещественной осью (его кратность равна трем). Вычет относительно этого полюса равен

Следовательно,

1.3.23. Интегралы вида ...

Пусть функция удовлетворяет условиям предыдущего параграфа, причем условие в) заменено менее обременительным: если стремится к бесконечности, то стремится к нулю равномерно относительно аргумента Рассмотрим контур на рис. 1.33. Согласно лемме Жордана имеем

где обозначает сумму вычетов относительно полюсов функции находящихся в верхней полуплоскости. Отделяя вещественные и мнимые части, можем написать

Из формулы

вытекает, что если четная функция, то

а если нечетная функция, то

Пример. Вычислить

Функция имеет над вещественной осью только один полюс Вычет относительно этого полюса равен

Следовательно,

Замечание. Пусть имеет простые полюса на вещественной оси, иначе говоря, условие б) п. 1.3.22 не выполняется. Пусть функция такова, что ее интеграл в интервале, где получает бесконечные значения. сохраняет смысл. Тогда при вычислении интегралов, рассмотренных в п. 1.3.22—23, следует к сумме вычетов относительно полюсов над вещественной осью прибавить величину о, где о означает сумму вычетов относительно полюсов на самой вещественной оси.

1.3.24. Интегралы вида ...

Полагаем, что рациональная функция х. причем стремится к нулю, когда стремится к бесконечности и к нулю, и не имеет полюсов на положительной части вещественной оси. Если мы осуществим разрез на этом отрезке вещественной оси, то функция будет однозначной на всем контуре, не пересекающем разрез (в частности, на контуре рис. 1.34). Пусть радиус малого круга, радиус большого круга такие, что в полученном кольце содержатся все полюса В силу предположений относительно интеграл, взятый по большой окружности, стремится к нулю, если бесконечно возрастает, а интеграл, взятый по малой окружности, стремится к нулю вместе с Следовательно, интеграл, взятый по и равен сумме вычетов относительно всех полюсов функции так как вычет относительно равен нулю. В самом деле, стремится к нулю вместе с и поэтому коэффициент при разложения функции должен быть равным нулю.

На на Таким образом,

Наконец,

Рис. 134.

Пример. Вычислить

Функция имеет два полюса второго порядка

Следовательно,