9.1.4. Формула Стирлинга.

В полученные выше формулы часто входит величина прямое вычисление которой при больших значениях требует больших затрат труда и времени. Для упрощения этих вычислений часто пользуются приближенной формулой Стирлинга, точность которой возрастает с возрастанием числа (асимптотическая формула).

Для вывода этой формулы рассмотрим площадь, заключенную между осью х, кривой и прямой, параллельной оси у в точке с абсциссой (рис. 9.1). Эта площадь выражается интегралом

Рис. 9.1.

Интегрируя по частям, будем иметь

С другой стороны, вычисляя этот интеграл приближенно по формуле трапеций, получим

Учитывая выпуклость кривой заключаем, что формула трапеций позволяет вычислить искомую площадь с недостатком, т. е.

Приближенно можно принять

или

откуда для получаем приближенное выражение

Таким образом, можем написать

Покажем, что функция компенсирующая ошибки приближенной формулы, при и, стремящемся к бесконечности, имеет предел и предел этот равен

Действительно, рассмотрим соотношение

Имеем

откуда следует, что ряд, общий член которого равен сходится.

Следовательно, сумма первых членов этого ряда имеет предел при Эта сумма равна

Поскольку последовательность имеет конечный предел, то и последовательность также имеет конечный предел.

Мы уже знакомы с формулой Валлиса, которая имеет вид

или

Если заменить в этом выражении величину на основании формулы (1), то получим

откуда следует равенство

где стремится к нулю при и, стремящемся к бесконечности. Можно показать, что

где числа Бернулли (п. 10.5.1):

На практике пользуются следующей приближенной асимптотической формулой Стерлинга:

или, если требуется большая точность,

Последняя формула делает ошибку пренебрежимо малой даже при малых значениях