5.1.3. Ковариантные и контравариантные векторы.

Мы уже знаем формулы преобразования векторов:

Всякий вектор, который при преобразовании системы координат преобразуется согласно правилам преобразования единичных векторов, называется ковариантным. Индекс, означающий номер координатной оси, у соответствующих проекций ковариантного вектора помещают внизу:

Пусть дан вектор, составляющие которого в старой системе будут а в новой системе — Если этот вектор

ковариантен, то формулы преобразования будут

Например, градиент скалярной функции будет ковариантным вектором.

Используемые на практике векторы обычно не следуют указанному правилу преобразования. Такие векторы называются контравариантными. Индекс у проекций вектора на оси координат в этом случае помешают вверху:

Рассмотрим вектор, составляющие которого равны в старой и новой системах соответственно. Пользуясь формулами преобразования единичных векторов, получим

Следовательно,

и наоборот,

Получились формулы, обратные формулам преобразования единичных векторов. В случае метрического пространства и прямоугольной системы координат нет надобности различать ковариантные и контравариантные индексы, так как в этом случае акт