5.1.3. Ковариантные и контравариантные векторы.
Мы уже знаем формулы преобразования векторов:
Всякий вектор, который при преобразовании системы координат преобразуется согласно правилам преобразования единичных векторов, называется ковариантным. Индекс, означающий номер координатной оси, у соответствующих проекций ковариантного вектора помещают внизу:
Пусть дан вектор, составляющие которого в старой системе будут
а в новой системе —
Если этот вектор
ковариантен, то формулы преобразования будут
Например, градиент скалярной функции будет ковариантным вектором.
Используемые на практике векторы обычно не следуют указанному правилу преобразования. Такие векторы называются контравариантными. Индекс у проекций вектора на оси координат в этом случае помешают вверху:
Рассмотрим вектор, составляющие которого равны
в старой и новой системах соответственно. Пользуясь формулами преобразования единичных векторов, получим
Следовательно,
и наоборот,
Получились формулы, обратные формулам преобразования единичных векторов. В случае метрического пространства и прямоугольной системы координат нет надобности различать ковариантные и контравариантные индексы, так как в этом случае акт