5.2.8. Контравариантные или ковариантные компоненты одного и того же вектора.

Вопрос о вариантности вектора является составной частью аффинной векторной геометрии. В метрическом пространстве вектор может менять вариантность. Он может, например, быть контравариантным, если рассматривать его компоненты как контравариантные, или ковариантным, если рассматривать его компоненты как ковариантные.

Рассмотрим вектор с контравариантными составляющими Его ковариантные составляющие равны, по определению,

И наоборот, для определения контравариантных составляющих, исходя из ковариантных, справедлива формула

Действительно,

Точно так же, если контравариантные составляющие бесконечно малого перемещения будут а ковариантные составляющие будут

Следовательно,

Скалярное произведение двух векторов, которое в аффинном векторном пространстве можно было определить лишь для двух векторов противоположной вариантности, можно теперь записать в виде

Заменяя на и, получим

Учитывая, что

имеем

Если вектор и направлен по оси по оси то