4.2.18. Цепные фильтры.

Имеем одинаковых четырехполюсников, соединенных по цепной схеме (рис. 4.6). Если [7] — характеристическая матрица каждого четырехполюсника, то характеристическая матрица всей схемы будет

Рис. 4.29.

Первый случай. Цепь замкнута на повторное сопротивление. Если отнести матрицу к ее собственным направлениям, то она получает такой вид

Поэтому характеристическая матрица схемы будет

Вектор отложен по собственному направлению, соответствующему поскольку цепь замкнута на повторное сопротивление. После прохождения через чешырехлолюсников вектор сохранит собственное направление с угловым коэффициентом но уменьшится в раз.

Второй случай. Цепь не замкнута на повторное сопротивление. Мы приводим схему 4.29 только для наглядности рассуждений, так как комплексные координаты не могут быть воспроизведены на двумерной плоскости.

Итак, даны две прямоугольных оси и Пусть и собственные направления матрицы соответствующие углы, образуемые Рассмотрим вектор направление которого не совпадает с собственным направлением, так как, по предположению, цепь не замкнута на повторное сопротивление. Разложим вектор [2] по

собственным направлениям составляющие Можно рассматривать как некоторые гипотетические векторы тока — напряжения. При прохождении по цепи четырехполюсников произойдет сокращение длин их модулей: первого в второго в раз. В результате эти два сокращенных вектора будут представлять собой разложение полного вектора после прохождения по цепи.

Все сказанное сводится к преобразованию координат, легко осуществимому с помощью матриц.

Матрица, дающая возможность перейти от пространства к пространству равна

Преобразование вектора в вектор происходит в пространстве с помощью матрицы

Матрица, позволяющая вернуться к пространству равна

Следовательно, матрица полного преобразования будет

т. е.

Разделив числитель и знаменатель на собфоб и заменив на получаем

что представляет собой матрицу преобразования

Если четырехполюсники симметричны, что случается довольно часто, то формулы существенно упрощаются:

При бесконечном возрастании числа элементов цепи, когда размеры Их становятся бесконечно малыми по сравнению с длиной волны, мы получаем

линию передачи. Она определяется повторным (волновым) сопротивлением С и коэффициентом распространения k (рис. 4.30).

Рис. 4.30.

Если через обозначить соответственно индуктивность, активное сопротивление, емкость, проводимость изоляции линии на единицу длины, а через I длину линии, то (см. п. 8.4.10)

Следовательно,

Характеристическая матрица такого четырехполюсника равна