8.3.10. Теорема свертывания, или теорема Бореля.
Даны две функции
имеющие соответственно изображения
Найдем оригинал для произведения
Рассмотрим формулу преобразования Лапласа, относящуюся к функции
Умножим обе части на
В силу формулы (34) получаем
Следовательно
Ввиду наличия
вклад интервала
в интеграл равен нулю, и можно написать
Итак, теорема свертывания может быть сформулирована следующим образом: Если
то
Примечание. Теория электрических цепей Хевисайда показала, что переходная реакция связана с обобщенным сопротивлением уравнением
Отсюда
Если приложить электродвижущую силу
то получим выражения для тока в виде
Пусть
такая функция, что
Теорема свертывания дает
или
Сравнив формулы (41) и (42), получаем
Это замечательное обобщение закона Ома для переходных режимов.