7.5.11. Случай, когда индекс равен целому числу v=n

Рассмотрим ряд для функции

Так как ряды

сходятся абсолютно, то ряд для произведения равен произведению рядов для сомножителей.

Соберем члены при одинаковой степени Легко заметить, что коэффициент при представляет степенной ряд по z, который совпадает с рядом для функции а коэффициент при совпадает с рядом для Мы можем, следовательно, написать

или же, в силу соотношения (22),

Функция называется производящей функцией для бесселевых функций первого рода целого порядка.

Ряд справа сходится при всех z и при всех Положим После подстановки получаем

Группируем в сумме отдельно четные и нечетные члены :

Приравнивая вещественные и мнимые части, находим

Заменяя на , получаем

Эти формулы дают разложения в ряд Фурье функций, находящихся в левых частях равенств. Пользуясь классическим способом вычисления коэффициентов ряда Фурье, умножим обе. части уравнения (53) на проинтегрируем от до Тогда, заметив, что все интегралы, содержащие произведение равны нулю, если и равны если получим

Применим этот же способ к формуле (54). Тогда

Обе полученные формулы можно представить в виде одного соотношения

Действительно, если четное число, то второе слагаемое в квадратных скобках равно нулю. Если же нечетное число, то равно нулю, первое слагаемое.