3.1.6. Векторы.

Векторная величина зависит от двух элементов разной природы: алгебраического элемента — числа, измеряющего длину (модуль) вектора, и геометрического элемента — направления вектора. Различают три разных типа векторов. Каждый из них объединяет совокупность векторов с одинаковыми свойствами.

Связанный вектор. Для определения связанного вектора требуется знать: его линию действия направление на этой линии (от ), его начало и неотрицательное число, измеряющее длину а отрезка (рис. 3.4.). Это число а называется модулем вектора.

Если поместить вектор на уже ориентированную ось, то алгебраическая длина этого вектора равна его модулю, взятому со знаком плюс или

минус, в зависимости от того, имеют ли вектор и ось одинаковое направление или нет.

Скользящий вектор. Определение остается таким же, как и в предыдущем случае, если исключить требование о закреплении начала вектора. Оно может находиться в любой точке оси (рис. 3.5). Силы, рассматриваемые в статической механике, представляют собой скользящие векторы.

Рис. 3.4.

Рис. 3.5.

В самом деле, нельзя нарушить равновесие твердого тела, перемешая точку приложения силы вдоль линии действия этой силы.

Свободный вектор. Такой вектор определяется положительным направлением линии действия и модулем а (рис. 3, б). Два одинаково направленных и равных по длине вектора называются эквиполентными. Свободные векторы равны, если они эквиполентны. Обычно свободный вектор обозначают через а.

В начале этой главы мы рассматриваем главным образом свободные векторы, но, когда речь пойдет о векторах поля (п. 3.2.5. и следующие), будут иметься в виду связанные векторы.

Рис. 3.6.

Единичный вектор. Это вектор, модуль которого равен единице. Обычно его называют ортом. Орт вектора или оси имеет всегда то же направление, что и рассматриваемый вектор или ось. Единичные векторы координатных осей обозначаются соответственно через

Полярный вектор. Осевой вектор. Некоторые векторы не зависят от изменения направления, выбранного на осях координат в качестве положительного (например, сила, скорость, вектор электрического поля). Векторы, обладающие указанным свойством, называются полярными.

Другие векторы, напротив, меняют знак, если изменить направление, выбранное на осях координат в качестве положительного. Такие векторы называются осевыми.

Полярные и осевые векторы существенно отличаются друг от друга по своей природе. Лишь полярные векторы являются векторами в чистом виде. Ниже (п. 5.1.10) мы увидим, что осевой вектор представляет собой антисимметричный тензор второго порядка. В случае трехмерного пространства (только такое пространство и рассматривается нами) число составляющих этого тензора равно 3, поэтому его можно принять за вектор. В четырехмерном пространстве этот особый тензор имел бы составляющих, тогда как полярный вектор только 4, т. е. там исключена возможность смешения.

Отсюда следует, что векторное равенство может иметь место либо только между полярными векторами, либо только между осевыми. Если, например, вектор, являющийся первым членом векторного равенства, осевой, то и второй член этого равенства тоже должен быть осевым вектором. Такая однородность, присущая векторному исчислению, позволяет обнаруживать вычислительные ошибки.

3.1.7. Положительное расположение трех векторов a, b, c.

Говорят, что три вектора с расположены положительно (отрицательно), если расположен положительно (отрицательно) трехгранник, имеющий ребра, параллельные этим векторам, таким же образом ориентированные и взятые в том же порядке.

3.1.8. Угол между двумя векторами a и b.

Это угол, не превосходящий те, на который нужно повернуть вектор а, чтобы совместить его с вектором, эквиполентным начало которого совпадает с началом вектора а. Он обозначается