Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид

где - коэффициенты, не зависящие от у и Можно получить общее решение уравнения (13), отыскав общий интеграл соответствующего однородного уравнения

и прибавив к этому общему интегралу частный интеграл неоднородного уравнения (13).

6.2.12. Интегрирование однородного дифференциального уравнения

Положим

Получим уравнение

Оно удовлетворяется, если есть корень алгебраического уравнения

которое называется характеристическим.

Пусть корни уравнения (15). Предположим сначала, то они все различные. Общий интеграл в этом случае будет

Коэффициенты С — произвольные постоянные.

6.2.13. Случай кратного корня.

Положим, что уравнение (15)

имеет один кратный корень порядка. Тогда у нас только различных корней, и

— уже не общее решение, так как оно содержит только неопределенных постоянных. Положим

Тогда

Введем следующие символические обозначения:

Имеем

Подставим в дифференциальное уравнение (14). Получим

или

Заметим, что выражение в квадратных скобках равно где задано формулой (15).

Так как кратный корень порядка то можно написать

Подставляя вместо выражение и умножая результат на и, получим, согласно (16),

Это символическое уравнение удовлетворяется, если т. е. Отсюда следует

Мы нашли недостающие произвольные постоянные. Таким образом, общий интеграл урарнения (14) в рассматриваемом случае равен

Полученный результат, очевидно, обобщается на случай нескольких кратных корней характеристического уравнения (15). Пример. Решим уравнение

Характеристическое уравнение имеет двойной корень

Отсюда общее решение:

6.2.14. Частный интеграл неоднородного уравнения.

Обратимся теперь к неоднородному уравнению (13):

В соответствии со сказанным выше, для определения общего решения (13) остается найти его частный интеграл. Во многих случаях вид частного интеграла продиктован видом функции Но в общем случае заранее определить этот вид нельзя — нужно решать уравнение непосредственно. Это удобно делать операционным методом, изложенным в п. 8.5.2.

Рассмотрим важный для электротехники частный случай, когда функция равна

Частный интеграл естественно искать в виде

Коэффициенты определяются путем подстановки. Удобно поступать так. Функция есть вещественная часть следующего комплексного выражения:

Рассмотрим дифференциальное уравнение

Пусть — частное решение (17). Выделяя вещественную и мнимую части, мы запишем его в виде

Так как постоянные вещественны, то частное решение уравнения (13) с правой частью, равной частное решение вспомогательного уравнения

Попытаемся найти частное решение (17) в виде

Замена тригонометрической функции экспонентной очень упрощает вычисление, так как после подстановки в (17) обе части уравнения можно сократить на Для получаем

Отсюда

т. е.

Следовательно, вещественная часть есть решение уравнения (13) с правой частью если а не является корнем характеристического уравнения (15). В частном случае, когда отсутствует затухание, имеем

Общий интеграл однородного уравнения (14), соответствующего неоднородному уравнению (13), представляет собой часть решения, описывающего переходный режим. Только что определенный частный интеграл (19) неоднородного уравнения (13) соответствует постоянному режиму (вынужденные колебания).

Пример. Решим уравнение

1. Найдем общий интеграл однородного уравнения. Характеристическое уравнение имеет корни

Следовательно, решение однородного уравнения будет

2. В соответствии с (19), частный интеграл уравнения вида (17)

и частное решение предложенного уравнения равно Отсюда общее решение

Если предложенное уравнение относится к электрической или механической системе, подвергающейся воздействию периодической силы, пропорциональной то переходный режим описывается выражением

а режим вынужденных колебаний — выражением

6.2.15. Случай резонанса.

Рассмотрим уравнение

Предположим, что — кратный корень порядка характеристического уравнения . В этом случае формула (18) неприменима. Будем искать частное решение в виде

Повторяя вычисления п. 6.2.13 для при а, получим

Используя формулу Тейлора для многочленов, перепишем это равенство в виде

Но

и, по предположению кратный корень порядка),

Таким образом, в левой части рассматриваемой формулы только один член не равен нулю. Учитывая, что находим

и частный интеграл у, будет

Если коэффициент затухания а мал, то может принимать большие значения. Если нет затухания то будет беспредельно возрастать. Речь идет о случае, когда частота вынужденных колебаний совпадает с собственной частотой электрической или механической системы. Это кончается пробоем для электрической и разрывом для механической системы, если только возрастающее затухание не изменит характера процесса. Соответствующим образом изменится тогда и дифференциальное уравнение задачи.

Пример. Решим уравнение Частный интеграл представляет собой мнимую часть выражения

и равен

Следовательно, общий интеграл будет

6.2.16. Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим, например, систему

Положим

Коэффициенты определяются из системы линейных алгебраических уравнений

Для того чтобы она имела решения, отличные от нуля, нужно, чтобы определитель системы был равен нулю:

Это уравнение имеет четыре корня: Рассмотрим корень Система (21) при согласно сводится к одному уравнению, что дает для значения, пропорциональные

Отсюда получаем частное решение системы:

Таким же образом найдем решения соответствующие корням Общее решение будет

Очевидно, что рассмотренный метод распространяется на общий случай решения линейных дифференциальных уравнений порядка с постоянными коэффициентами. Все неизвестных функций оказываются зависящими от пр произвольных постоянных.

Если рассматривается неоднородная система, то следует, так же как и в случае одного уравнения, сначала решить однородную систему, а затем прибавить к общему решению этой системы частное решение неоднородной системы.