Приложение векторного исчисления к теории электромагнитного поля

3.3.10. Электростатическое поле.

Рассмотрим два точечных заряда помещенных в пустоте в точках на расстоянии друг от друга (рис. 3.19). Тогда сила, действующая на заряд равна

где орт вектора ВА. Пусть в точке О помещен заряд Электрическое поле заряда в точке А равно силе, действующей на единичный заряд, помешенный в точке А (рис. 3.20):

Рис. 3.20.

Это электрическое поле представляет собой поле векторов, проходящих через фиксированную точку О. Используем формулы (40) и (41) для

Имеем

а скалярный потенциал равен

Применяя формулу (49) к замкнутой поверхности, не содержащей внутри себя точки О (теорема Остроградского, вообще говоря, неверна, если в области тройного интегрирования векторная функция имеет бесконечный разрыв), получим, что поток вектора через эту поверхность равен нулю. С другой стороны, непосредственно очевидно, что поток вектора через поверхность любого шара с центром в О равен Обозначим через произвольную замкнутую поверхность, содержащую внутри себя точку и проведем сферу с центром О, целиком находящуюся внутри Применяя формулу (49) к области, ограниченной и поверхностью этой сферы (учтем, что внутренняя нормаль сферы является внешней для рассматриваемой области), получим

Если внутри поверхности содержится несколько точечных зарядов

Предположим, что заряды распределены непрерывно внутри объема и плотность распределения зарядов дается скалярной функцией точки Тогда соотношение нарушается. Распространяя на этот случай теорему Гаусса, получим

а так как

то при непрерывном распределении зарядов

Далее,

и поэтому

До, сих пор мы рассматривали поле в пустоте. Обратимся теперь к полю внутри диэлектрика. В этом случае молекулы тела ведут себя как электрические диполи — каждый элемент объема содержит большое число зарядов противоположного знака, соединенных попарно.

При отсутствии внешнего поля моменты молекул ориентированы по-разному, и их векторная сумма равна нулю. При наличии внешнего поля диполи частично повернутся, и сумма моментов станет отличной от -Диэлектрик с ориентированными в той или иной степени дипольными моментами окажется поляризованным. Степень поляризации характеризуется

вектором поляризации который, по определению, равен суммарному моменту молекул, отнесенному к единице объема Учет поляризации можно осуществить, если ввести фиктивную плотность электрических зарядов, равную При этом условии теорема Гаусса записывается в следующей форме:

Применяя формулу (49), получаем

В данном случае векторное поле, удовлетворяющее теореме Гаусса, имеет вид

Вектор называется вектором электростатической индукции. Он, очевидно, удовлетворяет уравнению