3.2.3. Основные формулы дифференцирования.
Производная суммы. Пусть
Очевидно,
Производная произведения вектора на число. Пусть
Очевидно
Следовательно, если 
числа, то производная вектора
равна
Производная произведения векторной и скалярной функций. Пусть 
скалярная и векторная функции от 
Тогда
В пределе получим
Производная скалярного произведения. Пусть 
две векторные функции и 
их скалярное произведение. Рассмотрим
Переходя к пределу, имеем
Производная векторного произведения. Аналогично предыдущему получим, что производная векторного произведения 
равна
В этой формуле следует внимательно следить за порядком множителей, так как 
.
Теорема 
Пусть а — произвольный переменный вектор. Тогда
Для вывода этой формулы достаточно продифференцировать тождество 
Теорема 2. Если переменный вектор о удовлетворяет равенству 
то он параллелен одному и тому же направлению.
Дифференцируя отношение 
получаем 
но 
учитывая (9), имеем
Согласно предположению правая часть равенства равна нулю и, значит,
Следовательно, орт направления а постоянен, т. е. направление переменного вектора а неизменно.
