7.1.3. Приложение гиперболических функций к расчету длинных линий. Метод Броуна. Абаки Блонделя — Кеннеди.

Изучение распространения электрических сигналов вдоль линий передач часто приводит к необходимости вычисления выражений вида

где комплексные числа зависят от характеристик линии.

Разработан графический способ расчета этих выражений (метод Броуна).

Положим Тогда

Очевидно, что

Выразим вещественную и мнимую части через х и у, представляющие собой вещественную и мнимую часть Используя формулы пп. 7.1.2 и 1.1.11, получим

Так как , то

и, значит,

Рассмотрим кривую, определяемую уравнением

Легко заметить, что это — окружность с центром на оси Кривая, определяемая уравнением

— тоже окружность, но с центром на оси

Пусть окружность первой системы, соответствующая параметру а, пересекается с окружностью второй системы, соответствующей параметру в точке с аффиксом Тогда вещественная часть - равна а, так как точка находится на первой окружности, а мнимая часть равна так как точка находится и на второй окружности.

Рис. 7.4.

Рис. 7.5.

Следовательно, для определения чисел и достаточно найти окружности рассмотренных семейств, пересекающихся в точке с аффиксом — (рис. 7.4).

После вычисления нужно определить Обратимся к вычислению Модуль и аргумент величины где соответственно равны

Каждое из этих выражений определяет семейство кривых в плоскости

Рассмотрим две кривые, принадлежащие к двум разным семействам и пересекающиеся в точке с аффиксом 8. Значения параметров и для каждой из этих кривых дают соответственно модуль И аргумент Имея точку с аффиксом , можно по правилу параллелограмма непосредственно построить точку с аффиксом и затем найти модуль и аргумент и для величины (рис. 7.5).

Рис. 7.6.

Рис. 7.7.

В большинстве случаев на одной плоскости изображают обе системы окружностей рис. 7.4 и оба семейства кривых рис. 7.6. Эти графики называются абаками Блонделя — Кеннеди.

7.1.4. Графики функций sh х, chx, thx (рис. 7.6 и 7.7).

7.1.5. (см. скан) Таблицы показательной и гиперболических функций.