7.1.3. Приложение гиперболических функций к расчету длинных линий. Метод Броуна. Абаки Блонделя — Кеннеди.
Изучение распространения электрических сигналов вдоль линий передач часто приводит к необходимости вычисления выражений вида
где комплексные числа
зависят от характеристик линии.
Разработан графический способ расчета этих выражений (метод Броуна).
Положим
Тогда
Очевидно, что
Выразим вещественную и мнимую части
через х и у, представляющие собой вещественную и мнимую часть
Используя формулы пп. 7.1.2 и 1.1.11, получим
Так как
, то
и, значит,
Рассмотрим кривую, определяемую уравнением
Легко заметить, что это — окружность с центром на оси
Кривая, определяемая уравнением
— тоже окружность, но с центром на оси
Пусть окружность первой системы, соответствующая параметру а, пересекается с окружностью второй системы, соответствующей параметру
в точке с аффиксом
Тогда вещественная часть
- равна а, так как точка находится на первой окружности, а мнимая часть
равна
так как точка находится и на второй окружности.
Рис. 7.4.
Рис. 7.5.
Следовательно, для определения чисел
и
достаточно найти окружности рассмотренных семейств, пересекающихся в точке с аффиксом — (рис. 7.4).
После вычисления
нужно определить
Обратимся к вычислению
Модуль
и аргумент
величины
где
соответственно равны
Каждое из этих выражений определяет семейство кривых в плоскости
Рассмотрим две кривые, принадлежащие к двум разным семействам и пересекающиеся в точке с аффиксом 8. Значения параметров
и
для каждой из этих кривых дают соответственно модуль И аргумент
Имея точку с аффиксом
, можно по правилу параллелограмма непосредственно построить точку с аффиксом
и затем найти модуль и аргумент
и
для величины
(рис. 7.5).
Рис. 7.6.
Рис. 7.7.
В большинстве случаев на одной плоскости изображают обе системы окружностей рис. 7.4 и оба семейства кривых рис. 7.6. Эти графики называются абаками Блонделя — Кеннеди.
7.1.4. Графики функций sh х, chx, thx (рис. 7.6 и 7.7).
7.1.5. (см. скан) Таблицы показательной и гиперболических функций.