Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка
6.2.7. Введение.
Уравнение вида
называется линейным неоднородным уравнением 
порядка. Не существует никакого общего метода решения этого уравнения при 
В большинстве случаев решения уравнения (8) не могут быть выражены с помощью конечного числа элементарных функций.
Если правая часть (8) тождественно равна нулю, то уравнение называется линейным однородным. Оно имеет вид
Пусть известны 
частных интегралов 
однородного линейного уравнения (9). Тогда общий интеграл этого уравнения
Если и 
частный интеграл неоднородного линейного уравнения (8), то общий интеграл этого уравнения
6.2.8. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).
Пусть известно 
частных интегралов 
однородного линейного уравнения (9). Покажем, как в этом случае определяется частный интеграл неоднородного линейного уравнения (8). Положим, что мы выбрали 
таких функций
что
представляет собой решение неоднородного уравнения (8). Вычислим
и предположим, что функции 
удовлетворяют условию
Найдем, далее,
и наложим на функции 
второе условие:
Повторяя эти рассуждения еще 
раза, мы придем к следующей системе 
линейных уравнений относительно 
Последовательные производные от у с учетом этих условий будут равны:
Подставим эти производные в уравнение (8). Так как 
решения однородного уравнения (9), то имеем
Это равенство — недостающее 
условие, необходимое для определения 
Полученная система из 
уравнений будет совместна при условии, что определитель
не равен нулю. Это имеет место, если функции 
представляют собой линейно независимые частные решения однородного уравнения (9).
Тогда по правилу Крамера можно однозначно определить 
Сами же функции 
получатся с помощью интегрирования.
Пример. Решим уравнение
Очевидно, что 
линейно независимые частные интегралы однородного уравнения. Нужно найти такие две функции 
чтобы
откуда
Частный интеграл заданного неоднородного уравнения будет
Следовательно, общий интеграл
