Применение операционного исчисления к решению некоторых интегральных уравнений

8.5.4. Линейные интегральные уравнения.

Рассмотрим интегральное уравнение вида

Неизвестная функция — это Функция известна, так же как и функция которую называют ядром. постоянные.

Рассматриваемый тип интегральных уравнений относится к группе так называемого замкнутого цикла. Если уравнение называется уравнением второго рода; если оно называется уравнением первого рода.

Введем в рассмотрение изображения функций:

Теорема свертывания дает

Отсюда получим соотношение

и изображение неизвестной функции

Пример 1. Решим уравнение Абеля

Здесь мы имеем

откуда

Напишем в виде

Известно, что

Отсюда, пользуясь теоремой свертывания, получаем неизвестную функцию

Пример 2. Решим интегральное уравнение первого рода с логарифмическим ядром:

Воспользуемся формулой (72). Тогда уравнение может быть написано в виде

Отсюда

Пользуясь способом, уже применявшимся в предыдущем примере, напишем в виде

Если положить то

Мы получим неизвестную функцию применяя теорему свертывания, если будем знать оригинал для

Будем исходить из формулы (56). Проинтегрируем обе части этого выражения от до бесконечности по параметру Тогда

Применяем формулу (22):

Если положить

Отсюда получаем неизвестную функцию h(t):