3.1.14. Смешанное произведение трех векторов.

Смешанным произведением трех векторов называется скаляр

Применяя формулы для скалярного и векторного произведений в декартовых координатах, получаем

т. е.

Мы видим, что смешанное произведение трех векторов численно равно объему параллелепипеда, построенного на трех векторах (с общим началом в точке О), эквиполентных векторам Объем положителен или отрицателен в зависимости от того, положительно или отрицательно расположены эти три вектора. Следовательно, роль векторов, составляющих смешанное произведение, совершенно одинакова и

Первая строка показывает, что при круговой перестановке векторов с их смешанное произведение не меняется, вторая — что можно менять местами знаки скалярного и векторного произведений. Последнее обстоятельство служит обоснованием для упрощения обозначения смешанного произведения: оно записывается в виде или