1.3.25. Применение теоремы о вычетах к суммированию некоторых рядов.
Рассмотрим ряд
Положим, что функция
голоморфна на всей плоскости z за исключением нескольких полюсов
вычеты относительно которых равны
Контур
заключает в себе все полюса
и точкз
вещественной оси.
Числа
разумеется, не целые, так как иначе ряд не имел бы смысла.
Рис. 1.35.
Рассмотрим функцию
которая внутри контура
имеет в качестве полюсов полюса
с вычетами
и точки
с вычетами
Имеем
Если контур
при бесконечно возрастающем
отодвигается в бесконечность, причем криволинейный интеграл функции
по
стремится к нулю, то можно вычислить сумму рассматриваемого ряда. Эти условия соблюдаются, если, например, в качестве контура
использовать квадрат, представленный на рис. 1.35, и считать, что при бесконечном возрастании
произведение
равномерно стремится к нулю.
Выберем
достаточно большим, чтобы
ограничен на
пусть
его верхняя граница. Тогда справедлива оценка
Следовательно, контур
отвечает поставленным условиям и
Пример 1. Вычислить
Функция
стремится к нулю, когда
бесконечно возрастает. Функция
не имеет полюсов при значениях z, равных целому числу, и голоморфна на всей плоскости, за исключением
Следовательно,
Значит,
Замечание. Если вместо
использовать
то при тех же условиях можно суммировать ряды вида
Пример 2.