1.3.25. Применение теоремы о вычетах к суммированию некоторых рядов.
Рассмотрим ряд
Положим, что функция 
голоморфна на всей плоскости z за исключением нескольких полюсов 
вычеты относительно которых равны 
Контур 
заключает в себе все полюса 
и точкз 
вещественной оси.
Числа 
разумеется, не целые, так как иначе ряд не имел бы смысла.
Рис. 1.35.
Рассмотрим функцию 
которая внутри контура 
имеет в качестве полюсов полюса 
с вычетами 
и точки 
с вычетами 
Имеем
Если контур 
при бесконечно возрастающем 
отодвигается в бесконечность, причем криволинейный интеграл функции 
по 
стремится к нулю, то можно вычислить сумму рассматриваемого ряда. Эти условия соблюдаются, если, например, в качестве контура 
использовать квадрат, представленный на рис. 1.35, и считать, что при бесконечном возрастании 
произведение 
равномерно стремится к нулю.
Выберем 
достаточно большим, чтобы 
ограничен на 
пусть 
его верхняя граница. Тогда справедлива оценка
Следовательно, контур 
отвечает поставленным условиям и
Пример 1. Вычислить 
Функция 
стремится к нулю, когда 
бесконечно возрастает. Функция 
не имеет полюсов при значениях z, равных целому числу, и голоморфна на всей плоскости, за исключением 
Следовательно,
Значит,
Замечание. Если вместо 
использовать 
то при тех же условиях можно суммировать ряды вида
Пример 2.
