5.2.13. Случай криволинейных координат.
Пусть дана прямолинейная и прямоугольная система координат в трехмерном пространстве и пусть 
координаты произвольной точки в этой системе.
Расстояние между двумя бесконечно близкими точками определяете» формулой
Перейдем к наиболее общей системе криволинейных координат при помощи формул
Здесь 
- локальные единицы длины, отложенные соответственно по касательным 
к криволинейным осям, проходящим через точку О (рис. 5.7).
Рис. 5.7.
Элементы фундаментального метрического тензора, которые в старой системе координат равны
становятся в новой системе равными
Записывая подробно, получим
Следовательно,
Рис. 5.8.
Рассмотрим теперь вектор 
с координатами 
в старой системе, в которой не различаются контравариантность и ковариантность, а также с ковариантными координатами 
и с контравариантными координатами 
в новой системе. Спроектируем ортогонально этот вектор на касательную 
к координатной линии 
проходящей через точку О. Обозначим полученную проекцию через 
(рис. 5.8).
Проведем через точку 
конец вектора 
плоскость, параллельную плоскости, касательной к координатной поверхности, не содержащей линии 
Пусть 
точка пересечения этой плоскости с касательной 
Имеем
В итоге получаем
Это хорошо согласуется с результатом, полученным для более частного случая прямолинейной косоугольной системы координат.
