5.2.13. Случай криволинейных координат.
Пусть дана прямолинейная и прямоугольная система координат в трехмерном пространстве и пусть
координаты произвольной точки в этой системе.
Расстояние между двумя бесконечно близкими точками определяете» формулой
Перейдем к наиболее общей системе криволинейных координат при помощи формул
Здесь
- локальные единицы длины, отложенные соответственно по касательным
к криволинейным осям, проходящим через точку О (рис. 5.7).
Рис. 5.7.
Элементы фундаментального метрического тензора, которые в старой системе координат равны
становятся в новой системе равными
Записывая подробно, получим
Следовательно,
Рис. 5.8.
Рассмотрим теперь вектор
с координатами
в старой системе, в которой не различаются контравариантность и ковариантность, а также с ковариантными координатами
и с контравариантными координатами
в новой системе. Спроектируем ортогонально этот вектор на касательную
к координатной линии
проходящей через точку О. Обозначим полученную проекцию через
(рис. 5.8).
Проведем через точку
конец вектора
плоскость, параллельную плоскости, касательной к координатной поверхности, не содержащей линии
Пусть
точка пересечения этой плоскости с касательной
Имеем
В итоге получаем
Это хорошо согласуется с результатом, полученным для более частного случая прямолинейной косоугольной системы координат.