7.5. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ

Функции Бесселя первого и второго рода

Функции Бесселя первого и второго рода порядка представляют собой частные решения следующего дифференциального уравнения:

Если два независимых решения уравнения (13), то общий интеграл уравнения запишется в виде

Здесь означают две произвольные постоянные.

7.5.1. Определение функции первого рода.

Функции Бесселя первого рода, обозначаемые как определяются с помощью следующего ряда (см. п. 6.2.10):

Если мы подставим этот ряд в дифференциальное уравнение (13) и приравняем нулю коэффициенты при то получим, придавая X последовательные значения

Если число вещественное, то будем считать его положительным, если оно комплексное, то предположим, что Пусть Тогда из первого уравнения (16) находим

Первый случай: Все нечетные коэффициенты равны нулю; четные коэффициенты вычисляются через который остается неопределенным. Обозначая имеем

Для функции Бесселя первого рода порядка произвольный коэффициент принято выбирать в виде

Так как

получим

Если равно целому числу то имеем

В частном случае при

Второй случай: Четные коэффициенты связаны формулой

а нечетные коэффициенты — формулой

Если не равно половине нечетного числа, то все нечетные коэффициенты равны нулю. Аналогично предыдущему находим

Если равно половине нечетного числа: то нечетные коэффициенты, начиная с индекса не равны нулю. Этот случай будет особо рассматриваться в п. 7.5.15.

Рассмотрим вариант Тогда при второе уравнение (16) дает и все четные коэффициенты в (16) равны нулю, а все нечетные выражаются через При соответствующем выборе мы приходим к результатам, не отличающимся от формул (17) и (20).

7.5.2. Соотношение между ...

Рассмотрим, в каких случаях решение представляемое формулой (17), и представленное соотношением (20), будут линейно независимы.

Предположим, что не равно целому числу. Тогда функция конечна при любых значениях Если стремить z к нулю, то функция также будет стремиться к нулю. Напротив, функция будет при этом бесконечно возрастать из-за наличия членов вида показатель степени у которых отрицателен по крайней мере у одного или нескольких первых членов. В этом случае не целое число оба решения и очевидно, линейно независимы. Общий интеграл уравнения (13) может быть написан в виде

Предположим теперь, что равно целому числу Тогда формула (20) принимает вид

Первые члены этого ряда будут нули, пока равно целому отрицательному числу. Величина станет конечной при

Если опустить первые нулевые члены, то предыдущая формула будет выглядеть так:

Отсюда

Теперь обе функции уже не будут линейно независимы, и общий интеграл уравнения (13) нельзя написать в виде

Для целых значений индекса следует найти другой частный интеграл, который был бы линейно независим от

7.5.3. Определение бесселевой функции второго рода.

Рассмотрим функцию

Если не целое число, то это выражение представляет собой частный интеграл дифференциального уравнения (13). Если устремить к целому числу то правая часть в (23) становится неопределейной. Раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя. Получим

Пользуясь разложением в ряд (17), вычислим производную функцию по индексу

Устремим к целому числу. Тогда, в силу формул (5) и (9), получим

Используя формулы (20) и (6), выражение для функции представим в виде

где ближайшее целое число, большее

Продифференцируем (26) по индексу

Устремим Тогда формула (27) примет вид

Подставим выражения (25) и (28) в формулу (24). Учитывая соотношение (22), получим для следующее разложение в ряд, показывающее, что эта функция (она называется функцией Вебера) линейно независима от

При под суммой в фигурных скобках надо понимать выражение

Можно было действовать и другим способом. Принимая во внимание изложенное в п. 6.2.11, легко построить решение линейно независимое от по формуле

При любом модуль бесконечно возрастает, если z стремится к нулю. Отсюда следует, что линейно независимы.

Нетрудно показать, что можно подобрать числа таким образом, чтобы не отличалась от определенной выше функции

Замечание. В качестве второго решения дифференциального уравнения (13) используется также функция Неймана которая связана с функцией Вебера соотношением

7.5.4. Рекуррентные соотношения.

Продифференцируем формулу (17) по z. Получим следующие выражения:

Отсюда найдем первую рекуррентную формулу:

Точно таким же образом получим.

Вычитая и складывая (31) и (32), найдем

Для формула (31) примет вид

Нули функции совпадают с максимумами и минимумами

Применяя формулу (23), определяющую бесселеву функцию второго рода легко удостовериться, что эта функция удовлетворяет тем же рекуррентным соотношениям, что и функция Значит, так же будет обстоять дело со всеми линейными комбинациями вида иначе говоря, С общим решением дифференциального уравнения (13). В частности, рекуррентным соотношениям удовлетворяет функция Неймана определенная формулой (30), и функции Ханкеля, определенные ниже соотношениями (62).

7.5.5. Применение рекуррентных соотношений к вычислению некоторых интегралов

а) Рассмотрим интеграл

Продифференцируем произведение

Сравнив с формулой (32), мы можем записать правую часть в виде

Отсюда, интегрируя от до z, находим формулу

Таким же образом, но применяя на этот раз формулу (31), получаем

б) Рассмотрим интеграл

Интегрируя обе части формулы (34), в которой заменено на получим

Аналогично

Складывая почленно всю эту цепочку равенств, найдем

Ряд, фигурирующий в правой части, очень быстро сходится. Соображения, излагаемые в конце п. 7.5.21, позволяют определить номер, начиная с которого члены этого ряда становятся пренебрежимо малыми.

в) Рассмотрим интеграл

Этот интеграл можно записать в виде

Проинтегрируем по частям, пользуясь формулой (36):

иначе говоря.

Таким же образом получим

Если можно найти такое целое число чтобы нечетное число, то мы снова приходим к интегралу, вычисленному в а). Но если четное число, то мы вынуждены продолжить вычисление до такого номера чтобы При этом мы приходим интегралу от способ вычисления которого был показан в б).