Правила операционного исчисления

8.3.2. Сложение.

Так как преобразование Лапласа — операция линейная, то очевидно, что из

следует

Изображение суммы равно сумме изображений. Оригинал суммы равен сумме оригиналов. Это верно при любом числе слагаемых. Отсюда вытекает следствие. Рассмотрим разложение в степенной ряд функции

Согласно правилу сложения и соотношению (14), получаем разложение функции в ряд по возрастающим степеням

Если же, зная функцию мы хотим определить функцию то обратная операция позволит нам получить разложение в степенной ряд из разложения по убывающим степеням Может показаться, что если сделать оговорку о существовании и сходимости рассмотренных выше рядов, то этот прием можно считать общим, но, к сожалению, редко оказывается возможным суммировать степенные ряды. Даже если не требуется аналитическое выражение искомой функции, сходимость может оказаться не достаточно быстрой для численных методов. Однако в некоторых случаях этот способ можно с успехом применять.

Пример 1. Найдем оригинал функции Разложим в ряд по возрастающим степеням

Заменим в этом разложении на Тогда

Это разложение в степенной ряд Следовательно,

Приложение. Рассмотрим электрический контур (рис. 8.7). Включим в момент постоянную электродвижущую силу Найдем ток Формула (12) дает

Рис. 8.7.

Здесь

а

Тогда

где

Оригиналы и соответственно равны Поэтому

Пример 2. Найдем изображение Известно, что

Заменим в этом разложении на Тогда

Можно узнать здесь разложение Следовательно,

Пример 3. Докажем следующее соответствие:

где параметр.

Разлагая обе части в ряд, убедимся, что

Сравнивая общие члены

получаем

что уже известно.

Если в общей формуле положить а затем то получаем

Таблица, помещенная в пп. 8.3.28-8.3.30, - нечто вроде операционного словаря — дает большое число преобразований. Приведем быстрый и удобный способ вычислений с использованием этого словаря.

Решение физической или математической задачи ведет к отысканию функции оригинала известной функции Просмотрев словарь, мы найдем соответствие между некоторой функцией и близкой к функции Простыми преобразованиями можно добиться совпадения ее с Применение правил соответствия, которые устанавливаются ниже, даст коррективы, касающиеся одновременно и функции и задача будет решена.

Во всем последующем мы будем предполагать, что функции и связаны преобразованием Лапласа:

иначе говоря,

8.3.3. Изменение масштаба.

Если заменить в преобразовании Лапласа на положительное вещественное число), то

Заменив на получаем

Это равенство дает

Продифференцируем соотношение (22) по Это допустимо, потому что параметр, не зависящий ни от ни от Получаем

Если положить то

Разделим выражение (22) на

Проинтегрируем обе части по А от до I:

Положим Тогда

Произведем предыдущее интегрирование от 1 до бесконечности. При той же замене переменных находим

Проинтегрируем от нуля до бесконечности обе части равенства (21). Так как

получаем равенство

8.3.4. Дифференцирование функции h(t).

Умножим на обе части преобразования Лапласа и проинтегрируем по частям. Получим

т. е.

Повторив раз тот же прием, получаем последовательным интегрированием по частям

Если то выражение (27) принимает вид

Если то выражение (28) преобразуется в

8.3.5. Интегрирование функции h(t).

Найдем изображение функции Согласно формуле преобразования Лапласа, это изображение равно

Интегрирование по частям дает

Следовательно,

Тот же прием, повторенный раз, дает

Формулы (30) и (32) показывают, что дифференцирование и интегрирование функции приводит соответственно к умножению и делению изображения на

Аналитические операции над приводят к алгебраическим операциям над Этим объясняется громадное упрощение, которое вносят в анализ приемы операционного исчисления.

8.3.6. Теорема смещения.

Дадим переменной приращение Тогда преобразование Лапласа примет вид

Отсюда

Рис. 8.8.

8.3.7. Теорема запаздывания.

Вычтем из аргумента положительное число Функций или, точнее, функция (так как всегда подразумевается), преобразуется в (рис. 8.8).

Заменим на в преобразовании Лапласа:

или, введя множитель и разделив на

Нижний предел интегрирования может быть взят равным нулю, так как из-за присутствия вклад интервала равен нулю. Отсюда

и, следовательно,

Рис. 8.9.

В случае, когда равна единичной ступени, мы имеем (рис. 8.9)

8.3.8. Дифференцирование функции F(p).

Продифференцируем по обе части формулы преобразования Лапласа. Получаем

Отсюда

Продифференцировав раз, получаем

8.3.9. Интегрирование функции F(p).

Проинтегрируем по от до бесконечности обе части формулы преобразования Лапласа. Получаем

Отсюда

Проинтегрировав раз в тех же пределах, получаем