8.2. ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ХЕВИСАЙДА

Для цепи, находящейся в равновесии, основная задача — это отыскание токов и потенциалов при приложении некоторой электродвижущей силы в момент времени Цепь должна находиться в равновесии до приложения электродвижущей силы, иначе говоря, токи и заряды тождественно равны нулю от до Это основное предположение.

8.2.1. Определение переходной реакции.

Дана цепь, находящаяся в равновесии. Введем внезапно в контур I цепи воздействие (в данном случае электродвижущую силу), равное единичной ступени

Пусть ток в контуре этой цепи. Тогда принято говорить, что переходная реакция контура относительно контура Можно показать с помощью обобщенной теоремы взаимности, что

Очевидно, что знание всех таких функций, как решает поставленную вначале задачу для электродвижущей силы Мы покажем, что знание достаточно также для решения основной задачи при любой электродвижущей силе, если только она приложена в момент времени

Если приложить постоянную электродвижущую силу в момент то ток равен простоты записи опускаем индексы). Если ту же электродвижущую силу приложить не в момент в момент то ток будет равен Рассмотрим теперь электродвижущую силу любого вида, приложенную в момент например Если разделить промежуток времени от до на отрезков как это показано на рис. 8.4, то можно рассматривать воздействие этой электродвижущей силы как результат воздействия постоянной электродвижущей силы приложенной в момент затем электродвижущей силы приложенной в момент времени и т. д. до приложенной в момент Ток можно рассматривать как сумму токов

Рис. 8.4.

Если увеличивать до бесконечности число то пределом ломаной, изображенной на рис. 8.4, будет кривая Заменяя дифференциалом и переходя от суммы к интегралу, получим

Так как задана, то достаточно знать (переходную реакцию), чтобы найти

Предыдущее выражение может иметь несколько видов. Заменим в равенстве на Тогда интеграл принимает вид

Приняв снова прежние обозначения, получаем равенство

которое эквивалентно (1).

Если интегрировать по частям, то

поэтому

Сделав в этом выражении замену переменной получим

Можно заметить, что формулы (1) — (4) являются результатом операции дифференцирования по либо либо Поэтому имеем также

Формулы (1) — (6) показывают, что знание переходной реакции достаточно для вычисления