§ 104. Скалярное произведение двух векторов

Определение. Скалярным произведением вектора а на вектор называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

Обозначение: или

Согласно определению

В силу теоремы 2 § 93

так что вместо формулы (1) можно записать:

Аналогично

Словами: скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на алгебраическую проекцию другого вектора на направление первого.

Если угол между векторами острый, то если тупой, то если прямой, то

Вытекает из формулы (1).

Пример. Длины векторов соответственно равны а угол между ними 120°. Найти скалярное произведение

По формуле Вычислим ту же величину по формуле (2). Алгебраическая проекция вектора (рис. 150) на направление вектора а равна (длине вектора ОВ, взятой со знаком минус). Имеем:

Рис. 150

Замечание 1. В термине «скалярное произведение» первое слово указывает на то, что результат действия есть скаляр, а не вектор (в противоположность векторном у произведению; см. ниже § 111). Второе слово подчеркивает, что для рассматриваемого действия имеют силу основные свойства обычного умножения (§ 105).

Замечание 2. Скалярное произведение нельзя распространить на случай трех сомножителей.

Действительно, скалярное произведение двух векторов есть число; если это число умножить на вектор с (§ 89), то в произведении получим вектор

коллинеарный вектору с.