§ 451. Двойной интеграл

Пусть функция непрерывна внутри некоторой области (рис. 437) и на ее границе. Разобьем область на частичных областей их площади обозначим через Наибольшую хорду каждой из областей назовем ее диаметром.

В каждой частичной области (внутри или на границе) возьмем по точке (точка в области точка в области ). Составим сумму

Имеет место следующая теорема.

Теорема. Если при неограниченном возрастании числа областей наибольший из

Рис. 437

их диаметров стремится к нулю, то сумма стремится к некоторому пределу; последний не зависит ни от способа образования частичных областей, ни от выбора точек

Определение. Предел, к которому стремится сумма (1), когда наибольший из диаметров частичных областей стремится к нулю, называется двойным интегралом функции по области

Обозначение:

Читается: (двойной) интеграл по области D эф от икс игрэк дэ сигма.

Другое обозначение:

Оно проистекает из разбиения области (рис. 439) сетью прямых, параллельных осям координат длина частичного прямоугольника, ширина).

Обозначение двойного интеграла по прямоугольной области см. § 455.

Термины. Область называется областью интегрирования, функция подынтегральной функцией, выражение элементом площади, выражение в обозначении (3) — элементом площади в прямоугольных координатах.

Рис. 438

Рис. 439