§ 396. Теорема Абеля

Теорема. Если степенной ряд

сходится (абсолютно или условно) в какой-либо точке то он сходится абсолютно и равномерно во всяком

замкнутом промежутке лежащем внутри промежутка

Замечание 1. Слово «внутри» понимается в узком смысле, т. е. по условию теоремы ни один из концов отрезка не совпадает ни с точкой ни с точкой

Пример. Ряд

сходится (условно) в точке обращаясь в ряд (§ 369, пример 4)

По теореме Абеля ряд (2) сходится абсолютно и равномерно во всяком замкнутом промежутке, лежащем внутри промежутка например в замкнутом промежутке

Если в качестве левого конца отрезка взять точку то нарушится абсолютная сходимость (в самой точке -1). Если в качестве правого конца взять точку то ряд (2) станет расходящимся.

Замечание 2. Если в качестве одного из концов замкнутого промежутка взять то сходимость в таком промежутке остается равномерной. То же относится и к точке если в ней ряд (1) сходится.