§ 307. Интегрирование рациональных функций (общий метод)

Рациональные функции интегрируются по общему методу следующим образом.

1. Из данной функции исключаем целую часть; она интегрируется непосредственно (§ 305, пример 1).

2. Знаменатель остающейся правильной дроби разлагаем на действительные множители типа причем множители второго типа должны быть неразложимыми на действительные множители первой степени.

Разложение имеет вид

Такое разложение всегда существует; оно единственно.

3. Числитель правильной дроби пробуем делить на каждый множитель выражения (1). Если деление выполняется без остатка, сокращаем дробь на соответствующий множитель (§ 305, пример 4).

4. Разлагаем полученную дробь на сумму простейших дробей и интегрируем слагаемые по отдельности (§ 306).

Замечание 1. Всякая правильная дробь разлагается единственным образом на сумму простейших. Способ разложения объяснен ниже. Для лучшего его понимания рассмотрены 4 случая, исчерпывающие все возможности.

Случай 1. В разложение знаменателя входят только множители первой степени и ни один из них не повторяется.

Тогда правильная дробь разлагается на простейшие по формуле

где постоянные находятся (по методу неопределенных коэффициентов) следующим образом.

1. Освобождаемся в равенстве (2) от знаменателей.

2. Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях (в левой части может не оказаться соответствующего члена; тогда подразумеваем его с коэффициентом 0). Получаем для неизвестных систему уравнений первой степени.

3. Решаем систему (она всегда имеет единственное решение).

Пример 1. Найти

Решение. Данная дробь — правильная. Разлагаем знаменатель на множители:

Числитель не делится ни на один из этих множителей, так что дробь не сокращается. Все множители — первой степени и ни один не повторяется. Согласно формуле (2)

Для нахождения постоянных освобождаемся от знаменателей. Получаем:

или

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях (в левой части подразумеваем член Получаем систему

Решив ее, находим

и из (4) получаем следующее разложение данной дроби на простейшие:

Интегрируя почленно, находим искомый интеграл

Замечание 2. Постоянные можно найти еще и так: берем три любых значения и подставляем их в (5). Получим систему трех уравнений, из которой снова найдем те же значения (8).

Это замечание относится и к случаям 2, 3 и 4. Но в случае 1 указанный прием можно еще упростить, взяв такие значения которые обращают в нуль знаменатели

простейших дробей; в данном примере — значения Тогда получаем систему из которой сразу получаем значения

Случай 2. В разложение знаменателя входят лишь множители первой степени и некоторые из них повторяются.

Пусть множитель а повторяется раз. Тогда в разложении (2) надо заменить соответствующие одинаковых членов суммой простейших дробей вида

Аналогично и для других повторяющихся множителей. Простейшие дроби, соответствующие неповторяющимся множителям, остаются прежними. Постоянные, входящие в разложение, определяются так же, как и в случае 1.

Пример 2. Найти

Решение. Разложение знаменателя имеет вид

Все множители — первой степени. Множитель не повторяется, множитель повторяется трижды. Неповторяющемуся множителю соответствует, как и в примере 1, простейшая дробь вида повторяющемуся множителю сумма трех простейших дробей вида

Разложение данной дроби имеет вид

Освобождаясь от знаменателей, получаем:

или

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях получаем:

Решив эту систему, находим:

Получаем разложение данной дроби

Интегрируя почленно, находим:

Другой вариант. Если положить в (10) сначала затем (см. замечание 2), то получим сразу Подставив в (10) еще два значения, например учитывая найденные значения получим систему , из которой найдем

Этот способ особенно удобен, когда в разложении знаменателя много неповторяющихся множителей, а кратность повторяющихся членов невелика.

Случай 3. В разложение знаменателя входят множители второй степени (не разложимые на действительные множители первой степени), и ни один из них не повторяется.

Тогда в разложении дроби каждому множителю а соответствует простейшая дробь

(типа II). Множителям первой степени (если они есть) по-прежнему соответствуют простейшие дроби типа

Пример 3. Найти .

Решение. Разлагаем знаменатель на множители:

Получили два множителя вида но из них лишь первый не разлагается на действительные множители первой степени

Второй же

разлагается:

Поэтому разложение дроби на простейшие имеет вид

Освобождаясь от знаменателей, получаем:

Приравниваем коэффициенты одинаковых степеней

Решая систему (15), находим

так что

Интегрируя (см. § 306, случай Б), находим:

Другой вариант. Для определения полагаем в (14) сначала затем (см. замечание 2). Получаем простые уравнения и находим: Полагая в получаем - откуда Полагая находим

Случай 4. В разложение знаменателя входят множители второй степени (неразложимые на действительные множители первой степени) и некоторые из них повторяются.

Тогда в разложении дроби каждому множителю повторяющемуся раз, соответствует сумма простейших дробей вида

Пример 4. Найти

Решение. Разлагаем знаменатель на множители:

Множитель не разлагается на действительные множители первой степени; он повторяется дважды. Поэтому разложение дроби имеет вид

Освобождаемся от знаменателей:

Приравниваем коэффициенты одинаковых степеней

Решая систему, получаем:

так что

Вычислив средний интеграл, как объяснено в § 306 (случай В), найдем:

Замечание 3. Интеграл всякой рациональной функции теоретически выражается (ср. примеры 1—4) через логарифмы рациональных функций, аркфункции и «алгебраическую часть» (т. е. рациональную функцию). Но множители вида (на которые разлагается знаменатель всякой рациональной функции), как правило, можно найти лишь приближенно (см. § 308).

Впрочем, по способу, открытому М. В. Остроградским, алгебраическую часть можно всегда выразить точно, так как для ее нахождения нет необходимости разлагать знаменатель.