§ 502. Системы дифференциальных уравнений. Линейные системы

Системой дифференциальных уравнений называется совокупность уравнений, содержащих несколько неизвестных функций и их производные, причем в каждое из уравнений входит хотя бы одна производная. На практике имеют дело с такими системами, где число уравнений равно числу неизвестных.

Система называется линейной, если неизвестные функции и их производные входят в каждое из уравнений только в первой степени. Линейная система имеет нормальный виду когда она решена относительно всех производных.

Пример 1. Система дифференциальных уравнений

— линейная; она имеет нормальный вид.

В этом примере мы имеем линейную систему с постоянными коэффициентами (коэффициенты при неизвестных функциях и их производных постоянны).

Из линейной системы (присоединяя к ней уравнения, выведенные дифференцированием) можно исключить все неизвестные (и их производные), кроме одной. Полученное уравнение будет содержать одну неизвестную функцию и ее производную первого и более высоких порядков. Это уравнение тоже будет линейным, а если исходная система была системой с постоянными коэффициентами, то и найденное уравнение высшего порядка будет иметь постоянные коэффициенты.

Найдя неизвестную функцию этого уравнения, подставляем ее выражение в данные уравнения и находим остальные неизвестные функции.

Пример 2. Решить линейную систему примера 1.

Решение. Чтобы исключить продифференцируем (1). Получим:

Из уравнения (1) находим выражение у через ; подставляя в (2), найдем выражение через те же величины. Подставляя это выражение в (3), получим линейное уравнение второго порядка

По способу § 499 находим его общее решение

Это выражение подставляем в уравнение (1) и находим вторую неизвестную функцию