§ 266. Обобщенная теорема о среднем значении (Коши)

Теорема Коши. Пусть производные двух функций дифференцируемых в замкнутом промежутке не обращаются одновременно в нуль нигде внутри этого промежутка. Пусть при этом одна из функций имеет неравные значения на концах интервала (например, Тогда приращения данных функций относятся как их производные в некоторой точке лежащей внутри промежутка

Формула Лагранжа (формула (1) § 264) есть частный случай формулы

Геометрический смысл — такой же, как теоремы Лагранжа. Только линия (рис. 256) представляется параметрическими уравнениями

Имеем:

Отношение угловой коэффициент хорды отношение угловой коэффициент касательной

На рис. 256 касательная параллельна хорде лежит на дуге (но ее проекция на ось ОХ не лежит на отрезке то же для проекции на ось

Замечание 1. Если, вопреки условию теоремы, мы имели бы то левая часть формулы (1) была бы неопределенна.

Рис. 256

Замечание 2. В условии теоремы Коши требуется, чтобы не обращались одновременно в нуль внутри промежутка но на одном из концов (или на обоих) они могут одновременно обращаться в нуль (и даже не существовать — лишь бы были непрерывны в обоих концах).

Пример 1. Рассмотрим функции

в промежутке На конце производные

обращаются в нуль, но внутри промежутка обе отличны от нуля. Каждая из функций имеет неравные значения на концах Условия теоремы Коши выполнены. Значит, отношение

должно равняться отношению

в некоторой точке лежащей между Действительно, уравнение

имеет корень лежащий внутри промежутка .

Пример 2. Рассмотрим те же функции промежутке При имеем:

Уравнение

имеет единственный корень но он лежит вне промежутка Теорема Коши оказалась неприменимой по той причине, что точка где обе производные равны нулю, лежит теперь внутри промежутка Геометричсская

картина такова: параметрические уравнения представляют полукубическую параболу (рис. 257); значениям соответствуют точки

На дуге линии (полукубическая парабола) нет точек, где касательная была бы параллельна хорде (такая точка есть за пределами дуги выше точки В).

Механический смысл. Пусть время, а

— расстояния от двух прямолинейно движущихся тел до их начальных положений. Тогда есть скорости тел По условию теоремы Коши не равны нулю одновременно. Теорема утверждает, что пути, пройденные телами в промежуток времени относятся, как скорости в какой-то промежуточный момент (один и тот же для обоих тел).

Рис. 257