§ 496. Линейное уравнение второго порядка

Линейным уравнением второго порядка называется уравнение вида

где функции не зависят от у.

Если то уравнение (1) называется уравнением без правой части если же то — уравнением с правой частью.

Уравнение без правой части

обладает следующими свойствами.

Теорема 1. Если функция есть решение уравнения (2), то функция постоянная) — также решение.

Теорема 2. Если функции есть два решения уравнения (2), то функция также решение.

Следствие. Если есть два решения уравнения (2), то постоянные) — то решение.

Пример 1. Рассмотрим линейное уравнение без правой части

Убедившись проверкой, что функции и являются

решениями, заключаем, что функция также есть решение уравнения (3).

Замечание 1. Решение не всегда будет общим. Так, функции есть решения уравнений (3), функция также решение, но не общее (две постоянные не существенны; ср. § 493, предостережение).

Замечание 2. Решение не будет общим, если функции линейно зависимы, т. е. если их можно связать соотношением

где хотя бы одна из постоянных отлична от нуля.

Если же решения линейно независимы, т. е. если соотношение (4) возможно лишь тогда, когда обе постоянные равны нулю, то функция

дает общее решение.

Пример 2. Решения уравнения (3) линейно зависимы, так как при или при или при получаем

Решения линейно независимы, так как соотношение (4) возможно лишь при . В соответствии с этим решение — не общее, а решение общее.

Все вышесказанное относится только к линейному уравнению без правой части.

Уравнение с правой частью

обладает следующим свойством.

Теорема 3. Если функция является одним из решений уравнения (5), то его общее решение есть

где два линейно независимых решения уравнения (2), т. е. соответствующего уравнения без правой части.

Пример 3. Рассмотрим уравнение

Убедившись проверкой, что функция является его решением, заключаем, что общее решение уравнения (7) есть (ср. пример 1)

Теорему 3 можно сформулировать еще и так: общее решение линейного уравнения с правой частью есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего уравнения без правой части.

Замечание 3. Линейное уравнение второго порядка (как с правой частью, так и без нее) приводится к квадратурам лишь в специальных случаях. Но к числу последних принадлежит особенно важный для практики случай, когда коэффициенты оба постоянны (см. ниже §§ 497—499).