§ 279. Второе достаточное условие максимума и минимума

Когда знак производной вблизи критических точек (§ 278) распознается с трудом, можно пользоваться следующим достаточным условием экстремума.

Теорема 1. Пусть в точке первая производная обращается в нуль; если при этом вторая производная отрицательна, то функция имеет в точке а максимум, если положительна, то — минимум. О случае, когда см. теорему 2.

Второе условие следующим образом связано с первым. Будем рассматривать как производную от Соотношение означает (§ 274), что убывает в точке . А так как то положительна при и отрицательна при Значит (§ 277), имеет максимум при Аналогично для случая

Пример 1. Найти максимумы и минимумы функции

Решение. Решив уравнение

получаем критические значения

Подставив их в выражение второй производной

находим, что

Значит, при имеем минимум, при максимум (рис. 278).

Может случиться так, что вместе с первой производной обращается в нуль и вторая; может обратиться в нуль и ряд последующих производных. Тогда можно воспользоваться следующим обобщением теоремы 1.

Рис. 413

Теорема 2. Если в точке где первая производная равна нулю, ближайшая не равная нулю производная имеет четный порядок то функция имеет при максимум, когда и минимум, когда

Если же ближайшая не равная нулю производная имеет нечетный порядок то функция в точке а не имеет экстремума; она возрастает, когда и убывает, когда

Замечание. Теоретически не исключено, что у функции (не являющейся постоянной величиной) все производные в точке будут равняться нулю. Однако практического значения этот случай не имеет.

Пример 2. Найти максимумы и минимумы функции

Решение. Имеем: Решая уравнение

найдем: где любое целое число.

Так как данная функция имеет период то достаточно исследовать четыре корня:

Берем вторую производную

Подставляя критические значения находим:

В точке ближайшая не равная нулю производная имеет второй (четный) порядок, причем Значит, при имеем минимум. Аналогично заключаем, что при имеем максимум (так как ).

Экстремальные значения будут:

Чтобы исследовать критические значения найдем третью производную

Имеем:

В точке ближайшая не равная нулю производная имеет третий (нечетный) порядок, причем Значит, при экстремума нет. Здесь функция убывает. Аналогично заключаем, что и при экстремума нет; но здесь функция возрастает (так как