§ 510. Лемниската Бернулли

1. Исторические сведения. В 1694 г. Якоб Бернулли в работе, посвященной теории приливов и отливов, использовал в качестве вспомогательного средства линию, которую он задает уравнением Он отмечает сходство этой линии (рис. 493) с цифрой 8 и с узлообразной повязкой, которую он именует «лемниском». Отсюда название лемниската. Лемниската получила широкую известность в 1718 г., когда итальянский математик Джулио Карло Фаньяно (1682-1766) установил, что интеграл, представляющий длину дуги

Рис. 493

лемнискаты, не выражается через элементарные функции, и тем не менее лемнискату можно разделить (с помощью линейки и циркуля) на равных дуг при условии, что или или где любое целое положительное число.

Лемниската есть частный вид линии Кассини (§ 509, п. 6). Однако, хотя линии Кассини получили всеобщую известность с 1749 г., тождественность «восьмерки Кассини» с лемнискатой Бернулли была установлена лишь в 1806 г. (итальянским математиком Саладини).

2. Определение. Лемниската есть геометрическое место точек, для которых произведение расстояний от них до концов данного отрезка равно Точки называются фокусами лемнискаты; прямая ее осью.

3. Уравнение в прямоугольной системе (начало координат О — середина отрезка ось ОХ направлена по

Уравнение в полярной системе (О — полюс, полярная ось):

Угол изменяется в промежутках и .

Рациональное параметрическое представление:

где параметр и связан с соотношением

4. Построение. Можно применить общий способ построения линий Кассини, но нижеизложенный способ Маклорена) и проще и лучше. Строим (см. рис. 493) окружность радиуса — с центром в точке . Проводим произвольную секущую и откладываем

на этой прямой в обе стороны от точки О отрезки и равные хорде Точка опишет одну из петель лемнискаты, точка другую.

5. Особенности формы. Лемниската имеет две оси симметрии: прямую и прямую Точка О — узловая; обе ветви имеют здесь перегиб. Касательные в этой точке составляют с осью ОХ углы Точки лемнискаты, наиболее удаленные от узла О (вершины лемнискаты), лежат на оси на расстоянии с от узла.

6. Свойство нормали. Полярный радиус лемнискаты образует с нормалью угол вдвое больший полярного угла

Другими словами: угол между осью ОХ и вектором внешней нормали лемнискаты в точке равен утроенному полярному углу точки

7. Построение касательной. Чтобы построить касательную к лемнискате в ее точке проводим полярный радиус и строим Перпендикуляр к прямой есть искомая касательная.

8. Наибольший поперечник (см. рис. 493) служит основанием равностороннего треугольника с вершиной О.

9. Радиус кривизны

10. Площадь S полярного сектора

(К — проекция фокуса на полярный радиус ).

Другими словами: перпендикуляр опущенный из фокуса лемнискаты на произвольный полярный радиус делит площадь сектора пополам.

Площадь каждой петли лемнискаты .

11. Связь с гиперболой. Геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из центра О равносторонней гиперболы с вершинами на ее касательные, есть лемниската с теми же вершинами.