§ 369. Необходимое условие сходимости ряда

может сходиться лишь в том случае, когда член {общий член ряда) стремится к нулю:

Иначе говоря: если общий член не стремится к нулю, то ряд расходится.

Пример 1. Ряд

заведомо расходится, так как общий член (он имеет пределом ) не стремится к нулю.

Пример 2. Ряд

заведомо расходится, так как общий член не стремится к нулю (и вообще не имеет предела).

Предостережение. Условие (2) недостаточно для сходимости ряда: ряд, у которого общий член стремится к нулю, может сходиться, а может и расходиться (см. примеры 3 и 4).

Пример 3. Так называемый гармоническийряд

расходится, хотя его общий член стремится к нулю. Чтобы убедиться в расходимости ряда, рассмотрим частичные суммы

Мы видим, что частичная сумма неограниченно возрастает, т. е. ряд (5) расходится.

Пример 4. Ряд

Рис. 398

получаемый из гармонического заменой знака у членов с четными номерами, сходится. Чтобы убедиться в этом, отметим на числовой оси (рис. 398) точки, представляющие частичные суммы . Каждая из «нечетных» точек окажется левее предыдущей, а каждая из «четных» точек правее предыдущей, т. е. четные и нечетные точки движутся навстречу друг другу. Можно доказать, что подмеченный закон верен и что точки сближаются неограниченно. Значит, как четные, так и нечетные точки стремятся к некоторой точке (нечетные — справа, четные — слева). Следовательно, последовательность частичных сумм ряда (6) имеет пределом число т. е. ряд (6) сходится и его сумма.

Частичные суммы дают избыточные приближения для недостаточные. Подсчитав получим для один верный

знак: Вычислив мы нашли бы с тремя верными знаками. Точное значение есть :

Формула (7) получается из разложения

при (ср. § 270, п. 4 и § 272, пример 2).