§ 517. Цепная линия

1. Определение. Цепной линией называется линия, по которой провешивается однородная нерастяжимая нить, закрепленная в двух ее концах.

Замечание 1. В первоначальной постановке вопроса (см. п. 9) речь шла о линии провеса цепи, откуда и название «цепная линия». Заменяя цепь нитью, мы отвлекаемся от ряда обстоятельств (размер звеньев, их трение и т. д.), затрудняющих исследование. Напряжение поле тяготения Земли предполагается постоянным по величине и направлению.

Замечание 2. В зависимости от положения точек где закрепляются концы нити, и от длины I самой нити дуга провеса имеет различный вид. Однако исследование показывает, что изображение дуги сделанное в надлежащем масштабе, можно совместить с некоторой дугой (рис. 512) вполне определенной бесконечной линии Именно к этой

Рис. 512

бесконечной линии в целом (а не к дуге провеса, составляющей ее часть) и относится наименование «цепная линия».

Низшая точка А цепной линии называется ее вершиной.

2. Уравнение. Если за начало координат принять вершину цепной линии (что представляется довольно естественным), а ось ординат направить вертикально вверх, то цепная линия представится уравнением

где а (параметр цепной линии) есть длина такого отрезка нити, вес которого равен горизонтальной составляющей натяжения нити (эта составляющая постоянна на всем протяжении дуги провеса).

Однако обычно начало координат берут в точке О, лежащей ниже точки А на расстоянии а. Тогда получаем более простое уравнение

или, пользуясь обозначениями гиперболических функций (§ 403)

Таким образом, цепная линия есть график функции (если отрезок а принять за единицу масштаба).

Ось абсцисс т. е. прямая, параллельная касательной в вершине А и лежащая ниже этой вершины на расстоянии а, называется директрисой цепной линии.

3. Цепная линия и трактриса. Цепная линия на рис. 512) есть эволюта трактрисы высота которой равна параметру а цепной линии. Трактриса является той эвольвентой цепной линии, у которой начальная точка есть вершина А цепной линии. Иначе говоря, отрезок касательной от точки касания до пересечения с трактрисой в точке по длине равен дуге цепной линии.

4. Построение. Чтобы построить цепную линию с данным параметром а, найдем предварительно ряд точек трактрисы с высотой а (§ 516, п. 5). Попутно будем соединять каждую такую точку (см. рис. 512) с центром соответствующей полуокружности. Прямая касательная к трактрисе. Теперь проводим нормаль трактрисы до пересечения в точке с перпендикуляром восставленным из точки к направляющей Точка (центр кривизны трактрисы) принадлежит искомой цепной линии

Замечание. Нормаль трактрисы является касательной ее эволюты (§ 346, п. 1). Это свойство упрощает проведение плавной линии через ряд построенных точек Вместе с тем оно позволяет проконтролировать точность построения.

5. Длина дуги. Длина дуги цепной линии, отсчитываемой от вершины А, равна проекции ординаты на касательную и выражается формулой

или

С ординатой дуга связана соотношением

Последнее вытекает из (2) и (3) и легко прочитывается из треугольника где и основному свойству трактрисы).

6. Проекция ординаты на нормаль. Проекция ординаты цепной линии на нормаль имеет постоянную длину а:

Это соотношение прочитывается из прямоугольника где (по основному свойству трактрисы).

7. Радиус кривизны. Радиус кривизны цепной линии равен отрезку нормали от точки до директрисы и выражается формулой

или

8. Построение центра кривизны; эволюта цепной линии. Чтобы построить центр кривизны цепной линии в данной ее точке продолжаем нормаль за точку и откладываем отрезок Точка К — искомый центр кривизны. Так строится по точкам линия описываемая центром кривизны, т. е. эволюта цепной линии. Ее параметрические уравнения:

Точка В (центр кривизны для вершины А) есть точка возврата эволюты (7).

9. Натуральное уравнение цепной линии:

Оно получается из (3а) и (6а) исключением На языке кинематики уравнение (8) означает следующее: если цепная линия катится без скольжения по прямой, то центр кривизны точки касания описывает параболу; ось последней вертикальна; вершина лежит в точке ; параметр параболы равен полупараметру цепной линии.

10. Площадь S «криволинейной трапеции» ордината вершины, ордината конца дуги равна площади прямоугольника со сторонами так что

11. Исторические сведения. Когда точки закрепления цепи находятся на одинаковой высоте и цепь ненамного длиннее, чем расстояние между точками закрепления, дуга провеса кажется тождественной дуге параболы. Долгое время так и считалось. Исследования Г. Галилея в области механики поставили под сомнение правильность этого мнения, но самому Галилею не удалось ни подтвердить его, ни опровергнуть. В 1669 г. Юнгиус установил как теоретически, так и экспериментально, что линия провеса цепи не является параболой. Но для нахождения истинной формы этой линии математика в это время еще не располагала необходимыми средствами. Вскоре после того, как И. Ньютон и Г. В. Лейбниц разработали методы анализа бесконечно малых, оказалось возможным решить и задачу о линии провеса цепи. Эта задача была сформулирована в 1690 г. Якобом Бернулли тотчас же решена его братом Иоганном Бернулли, X. Гюйгенсом к Г В. Лейбницем.

Я. Бернулли поставил и другую задачу: пренебрегая весом паруса, раздуваемого ветром, найти линию профиля паруса. Самому Я. Бернулли удалось лишь составить дифференциальное уравнение. И. Бернулли

решил его. Оказалось, что искомый профиль является цепной линией.

В 1744 г. Л. Эйлер поставил и решил такую задачу: на плоскости даны прямая АВ и две точки (не лежащие на АВ). Провести через такую линию, чтобы поверхность, образованная ее вращением около оси имела наименьшую площадь. Оказалось, что и эта кривая является цепной линией (прямая ее директриса).

Поверхность вращения цепной линии около ее директрисы (катеноид) обладает и более общим свойством, а именно: любой ее кусок по площади меньше, чем всякая другая поверхность, ограниченная тем же контуром. Это свойство катеноида было найдено в 1776 г. выдающимся французским математиком, инженером и полководцем Ж. Б. Менье. Тем же свойством обладает целый класс поверхностей (так называемые минимальные поверхности). Но среди поверхностей вращения катеноид является единственной поверхностью этого класса.

Значение цепной линии для техники обусловлено, между прочим, тем, что собственный вес арки, имеющей форму цепной линии, не действует на прогиб арки.

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

IV. Таблица неопределенных интегралов

(см. скан)

(см. скан)