§ 388. Признак равномерной сходимости; правильные ряды

Если каждый член функционального ряда

при любом взятом в промежутке по абсолютному значению не превосходит положительного числа и если числовой ряд

сходится, то функциональный ряд (1) в этом промежутке равномерно сходится.

Пояснение. Сходимость ряда (1) вытекает из §§ 377 и 373. Остаток ряда (1) по абсолютной величине не превосходит остатка ряда (2). Начиная с того номера который обеспечивает точность до для ряда (2), и подавно обеспечивается точность до для ряда (1) для всех сразу.

Пример. Функциональный ряд

равномерно сходится в промежутке так как его члены при любом не превосходят по абсолютному значению соответствующих членов положительного числового ряда

Последний же сходится (§ 373, пример 3). Точность до 0,1 обеспечивается для ряда (4), начиная с номера Для ряда (3) та же точность и подавно обеспечивается, начиная с десятой частичной суммы.

В замкнутом промежутке сумма ряда (3) равна

При функциональный ряд (3) обращается в числовой ряд (4); сумма последнего равна (см. § 417, пример 3).

Замечание. Функциональный ряд, подходящий под признак настоящего параграфа, называется правильным. Всякий правильный ряд сходится равномерно. Неправильные же ряды сходятся в одних случаях равномерно, в других — неравномерно.