§ 422. Предел функции нескольких аргументов

Понятие предела функции нескольких аргументов устанавливается так же, как и для функции одного аргумента. Для определенности рассмотрим случай функции двух аргументов.

Число I называется пределом функции в точке если неограниченно приближается к I всякий раз, когда точка неограниченно приближается к (ср. § 204).

Запись:

или

Замечание 1. Предполагается, что внутри некоторого круга, охватывающего точку функция определена во всех точках, не совпадающих с в самой же точке функция либо определена, либо нет (ср. § 204, замечание 1).

Замечание 2. Математический смысл выражения «неограниченно приближается» выясняется из нижеследующего точного определения.

Определение. Число I называется пределом функции в точке если абсолютное значение разности остается меньшим любого заранее данного положительного числа всякий раз, когда расстояние от точки до точки (не совпадающей с меньше некоторого положительного числа 5 (зависящего от е).

Геометрический смысл. Апликата поверхности отличается от I меньше чем на всякий раз, когда проекция точки, лежащей на поверхности, попадает внутрь окружности радиуса 5 с центром в точке .

Замечание 3. Для случая функции трех аргументов расстояние представится выражением Для случая четырех аргументов, когда геометрического смысла выражение не имеет, оно по аналогии все же называется расстоянием между точками

Понятие бесконечно малой и бесконечно большой величины устанавливается так же, как и для функции одного аргумента (§§ 207, 208). О порядке малости см. § 423. Расширение понятия предела осуществляется так же, как и в § 211.

§ 423. О порядке малости функции нескольких аргументов

При сравнении двух бесконечно малых функций одного аргумента мы различали (§ 217) следующие случаи:

1) отношение имеет конечный предел, отличный от нуля, тогда бесконечно малые величины имеют одинаковый порядок;

2) , тогда а имеет высший порядок относительно

3) , тогда а имеет низший порядок относительно ;

4) отношение не имеет предела, тогда несравнимы.

Случай 4 при изучении элементарных функций одного аргумента является исключительным. Для функций двух и большего числа аргументов исключительным является случаи 1), а практическую важность имеют случаи 2), 3), 4).

Таким образом, отношение двух бесконечно малых функций нескольких аргументов в типичном случае не имеет предела (см. пример 1). В других случаях одна из двух бесконечно малых функций (например, а) имеет высший порядок относительно другой (см. примеры 2 и 3). Тогда вторая имеет низший порядок относительно первой.

Пример 1. При величины бесконечно малы, но их отношение не имеет предела.

Действительно, точка может стремиться к по линии, касающейся в точке прямой (линия на рис. 431), или прямой или прямой . В нервом случае отношение стремится к , во втором — к 3, в третьем — к 1. Значит, отношение

в первом случае стремится к во втором — к в третьем — к и т. д.

Замечание. Бесконечно малая величина есть квадрат расстояния от точки до точки стремящейся к Вообще, случай, когда одна из сравниваемых бесконечно малых является какой-либо степенью расстояния между точкой и ее пределом имеет особенно важное значение (ср. §§ 430, 444).

Пример 2. Функция имеет при высший порядок малости относительно расстояния

Рис. 431

Действительно, отношение преобразуется так:

Каждая из величин по абсолютному значению не превосходит единицы (рис. 432), а каждая из величин стремится к нулю. Следовательно, оба члена в правой части равенства (1) стремятся к нулю. Значит, стремится к нулю и отношение

Пример 3. Функция имеет высший порядок относительно квадрата расстояния т. е. относительно Действительно,

Первый сомножитель стремится к нулю, а каждый из двух других не превосходит единицы (ср. пример 2).

Рис. 432