§ 173. Эллипсоид

Поверхность, представляемая уравнением

называется эллипсоидом (рис. 190). Линия пересечения эллипсоида (1) с плоскостью представляется (§ 169) системой

Она равносильна системе

так что есть эллипс с полуосями

Сечения эллипсоида (1) плоскостями есть эллипсы с полуосями и с полуосями

Сечение эллипсоида плоскостью ( на рис. 190) представляется системой

Рис. 190

Однако если то уравнение (2) не представляет никакого геометрического места («мнимый эллиптический цилиндр»; пример 5). В этом случае плоскость не пересекает эллипсоида. При уравнение (2) представляет ось пример 4). Значит, плоскость с имеет с эллипсоидом одну общую точку (точка касания); таким же образом плоскость касается эллипсоида в точке рисунке не показана).

Если же то искомое сечение есть эллипс с полуосями

пропорциональными

По мере удаления от плоскости размеры сечений уменьшаются (причем все они подобны).

Та же картина и для сечений, параллельных плоскостям

Точка О есть центр симметрии эллипсоида (1). Плоскости плоскости симметрии, оси оси симметрии.

Трехосный эллипсоид. Если все три величины различны (т. е. ни один из эллипсов не обращается в окружность), то эллипсоид (1) называется трехосным. Эллипсы называются главными; их вершины называются вершинами трехосного эллипсоида. Отрезки (оси главных эллипсов), а также их длины называются осями эллипсоида. Если то — большая ось, средняя и малая.

Эллипсоид вращения. Если какие-либо две из величин например равны между собой, то соответствующий главный эллипс и все параллельные ему сечения обращаются в окружности. Любое сечение проходящее через ось можно получить поворотом эллипса около оси т. е. эллипсоид есть поверхность вращения (эллипсы ,

меридианы, окружность - экватор). Такой эллипсоид называется эллипсоидом вращения. Его уравнение имеет вид

Если то эллипсоид вращения называется сжатым (рис. 191, а), если то вытянутым (рис. 191, б). У эллипсоида вращения положение двух его осей неопределенно.

Рис. 191

Если эллипсоид обращается в сферу, и положение всех трех осей становится неопределенным.

Замечание 1. Эллипсоид вращения можно определить как поверхность, получаемую равномерным сжатием сферы к ее экватору (ср. § 40). Сжатый эллипсоид вращения получается, когда коэффициент сжатия вытянутый — когда

Трехосный эллипсоид можно определить как поверхность, получаемую равномерным сжатием эллипсоида вращения к его меридиану.

Замечание 2. Эллипсоид представляется уравнением (1), если оси координат совпадают с осями эллипсоида. В других случаях эллипсоид представляется иными уравнениями.

Пример 1. Определить, какую поверхность представляет уравнение

Решение. Данное уравнение приводится к виду

Оно представляет вытянутый эллипсоид вращения с полуосями Осью вращения служит

Пример 2. Определить, какую поверхность представляет уравнение

Решение. Приведем данное уравнение к виду

Перенесем начало координат в точку (3; 0; -2); тогда (§ 166) получим уравнение или

Данное уравнение представляет трехосный эллипсоид с полуосями центр его лежит в точке оси параллельны осям координат.