§ 200. Классификация функций

Функции подразделяются на однозначные и многозначные (§ 196, определение 2).

Функции, представленные формулами, подразделяются на явные и неявные (§ 197).

Функции подразделяются на элементарные и неэлементарные.

Перечень так называемых основных элементарных функций дан в § 201; каждая из них представляет некоторое «действие» над аргументом (возведение в квадрат, извлечение кубического корня, логарифмирование, нахождение синуса и т. д.). Путем повторного выполнения этих действий, а также четырех действий арифметики (в ограниченном числе) получаются новые функции; они также причисляются к элементарным.

Пример 1. Функции — элементарные.

Функции, которые нельзя выразить указанным способом, считаются неэлементарными.

Пример 2. Функция элементарная, так как ее можно выразить формулой

содержащей ограниченное число элементарных действий.

Пример 3. Функция неэлементарная, так как ее нельзя выразить ограниченным числом элементарных действий (чем больше тем больше умножений надо выполнить, а преобразовать выражение к элементарному виду невозможно).

Замечание. Мы сознательно воздерживаемся здесь от подразделения функций на алгебраические и трансцендентные, так как точное определение алгебраической функции можно дать ггишь на основе более тонких понятий (непрерывности или дифференцируемости). Кроме того, различать алгебраические и трансцендентные функции в рамках данной книги излишне.