§ 490. Приближенное интегрирование уравнений первого порядка по методу Эйлера

Пусть дано уравнение

при начальных условиях Требуется найти его решение в некотором промежутке Делим этот промежуток на частей (равных или неравных) последовательными точками (рис. 477).

На участке полагаем:

т. е. вместо искомой интегральной линии берем ее касательную .

В точке получаем приближенное значение искомого решения

На участке полагаем:

т. е. вместо искомой интегральной линии берем касательную к интегральной линии (при этом возникает двойная погрешность: касательная отклоняется от линии а последняя не совпадает с искомой линией Продолжая процесс, получаем последовательные приближенные значения

При достаточном измельчении данного промежутка достигнем любой требуемой точности, но ценой большого

Рис. 477

труда. Поэтому способ Эйлера применяется лишь для грубых приближений. Чаще всего выгодно делить промежуток на равные части.

Пример. Найти приближенное решение уравнения в промежутке при начальных данных (здесь ).

Решение. Делим промежуток на 10 равных частей, так что

По формулам (3) и (4) находим последовательно:

и т. д. Вычисления располагаются по следующей схеме:

Из первых двух столбцов составляется таблица приближенного решения. Данное уравнение допускает и точное

решение по формуле откуда .

Соответствующие значения у даны в последнем столбце. Сравнение с первым столбцом показывает, что погрешность последовательно возрастает и при достигает 2,9%.