§ 314. Определенный интеграл

Пусть функция непрерывна внутри промежутка и на его концах. Внутри промежутка возьмем последовательных точек (рис. 327, где для единообразия обозначим

Рис. 327

а через , а через Промежуток разобьется на частичных промежутков

В каждом из частичных промежутков (внутри или на одном из концов) возьмем по точке (точка в промежутке в промежутке ).

Составим сумму

Имеет место следующая теорема.

Теорема. Если при неограниченном возрастании числа промежутков наибольшая из их длин стремится к нулю, то сумма стремится к некоторому пределу Число одно и то же при любом способе образования частичных промежутков и при любом выборе точек

Наглядное пояснение теоремы дает рис. 328. Сумма численно равна площади заштрихованной ступенчатой фигуры (основание левой ступеньки равно ее высота значит, площадь равна ). Чем уже ступеньки, тем ближе площадь ступенчатой фигуры к площади «криволинейной трапеции» так что предел суммы численно равен площади фигуры

Сумму (1) часто обозначают сокращенно

Здесь знак (прописная греческая буква «сигма») указывает, что выражение (2) есть сумма однотипных членов. Выражение указывает закон образования

Рис. 328

членов: при получается первый член, при второй и т. д. Используется также более подробная запись

Здесь отмечено, что первый член соответствует значению , а последний — значению

Определение. Предел, к которому стремится сумма (1), когда наибольшая из длин всех частичных промежутков стремится к нулю, называется определенным интегралом функции Концы данного промежутка (промежутка интегрирования) называются пределами интегрирования — нижним и верхним

Определенный интеграл обозначается

Эта запись читается: «интеграл от а до b эф от икс дэ икс».

Значение определенного интеграла зависит от вида функции и от значений верхнего и нижнего пределов. Аргумент функции можно обозначить любой буквой, например у, так что выражение

представляет то же число, что и (3).

Замечание. Верхний предел может быть больше или меньше нижнего а. В первом случае

Во втором случае

Дополнение к определению. В определении предполагается, что Но понятие определенного интеграла распространяют и на случай именно интеграл с равными пределами считается равным нулю:

(это соглашение оправдано тем, что интеграл (3) стремится к нулю при сближении рис. 327).

Пример. Найти Здесь

Решение. Разобьем промежуток на равные части (рис. 329); тогда абсциссы

образуют арифметическую прогрессию с разностью

За точки примем правые концы последовательных промежутков так что

В силу (8) и (10) сумма (1) принимает вид

Суммируя арифметическую прогрессию, находим:

При неограниченном увеличении числа равных промежутков длины их стремятся к нулю; при этом стремится к а. Поэтому

следовательно,

Рис. 329

Рис. 330

Точно так же

Величина есть площадь трапеции ; действительно,

Второй способ. Разобьем промежуток на неравные части так, чтобы точки образовали геометрическую прогрессию (рис. 330)

Из последнего равенства находим:

За точки примем левые концы последовательных промежутков так что

Сумма (1) примет вид

Последний сомножитель — геометрическая прогрессия со знаменателем Суммируя ее, находим:

или в силу равенства (14)

При неограниченном увеличении числа знаменатель как видно из (14), стремится к единице:

Длины всех частичных промежутков стремятся к нулю. В силу (15) и (16) имеем:

т. е.