§ 356. Дифференциал вектор-функции

Дифференциал вектор-функции определяется так же, как и для скалярной функции (§ 228), и обозначается

Дифференциал вектор-функции есть вектор; он равен произведению производной вектор-функции на приращение аргумента:

или

Геометрический смысл. Дифференциал есть вектор (рис. 395), направленный по касательной координаты вектора есть дифференциалы координат точки М:

Длина вектора равна дифференциалу дуги

т. е.

Если дуга является аргументом вектор-функции то . В общем же случае

Рис. 395

отличается от дуги (равно как и от хорды на величину высшего порядка малости относительно .

Инвариантность выражения (2). Формула (2) верна и в том случае, когда и рассматривается как функция какого-либо аргумента. Формула (1) не обладает этим свойством (ср. § 234).

Дифференциалы высших порядков. Они определяются так же, как и для скалярных функций (§ 258), и обозначаются

Выражения производных через дифференциалы:

В формуле (6) и может быть как независимой, так и зависимой переменной; формулы (7) верны, когда и — независимая переменная; в противном случае они, как правило, неверны (ср. § 259).