§ 373. Сравнение положительных рядов

Для исследования сходимости данного положительного ряда

его часто сравнивают с другим положительным рядом

о котором известно, что он сходится или расходится.

Если ряд (2) сходится и его сумма равна V, а члены данного ряда не превосходят соответствующих членов ряда (2), то данный ряд сходится, и его сумма не превосходит V, При этом и остаток данного ряда не превосходит остатка ряда (2).

Если ряд (2) расходится, а члены данного ряда не меньше соответствующих членов ряда (2), то данный ряд расходится.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

и, если он сходится, найти четыре значащие цифры его суммы

Решение. Сравним данный ряд с геометрической прогрессией

Ряд (4) сходится; его сумма равна 1,25. Члены данного ряда не превосходят соответствующих членов ряда (4). Значит, данный ряд сходится, и . Остаток

ряда (3) меньше остатка ряда (4), т. е.

Для лучшей оценки сравним остаток (5) с рядом

Рассуждая, как выше, получим неравенство

Полагая последовательно найдем, что выражение станет меньше 0,0005 при . Суммируем четыре члена данного ряда. Получаем недостаточное (с точностью до ) приближение

Пример 2. Для исследования сходимости ряда

сравним его с гармоническим рядом

Последний расходится (§ 369, пример 3), а члены данного ряда не меньше соответствующих членов ряда (9). Значит, ряд (8) расходится.

Пример 3. Для исследования сходимости ряда

сравним его с рядом

члены которого, начиная со второго, больше соответствующих членов ряда (10). Ряд (11) сходится и его сумма равна так как частичную сумму можно представить в виде

Ряд (10) и подавно сходится и его сумма меньше чем 2. Остаток ряда (11) равен (§ 370)

Остаток ряда (10) лишь немногим меньше, так что ряд (10) сходится медленно: чтобы найти четыре

значащие цифры суммы, надо сложить около 2000 членов. Точное значение суммы ряда (10) равно (см. ниже § 417, пример 3).