§ 164. Уравнения общего перпендикуляра к двум данным прямым

Прямая пересекающая две непараллельные прямые ( на рис. 178)

и перпендикулярная им, представляется (в векторной форме) уравнениями

где

Взятое в отдельности, уравнение (1) представляет плоскость проведенную через прямую параллельно вектору (§ 159). Аналогично (2) представляет плоскость проведенную через параллельно а.

Точка в которой пересекает найдется в пересечении с плоскостью Аналогично найдется точка после чего можно найти длину общего перпендикуляра .

Замечание. В случае параллельности (тогда и уравнения (1), (2) становятся тождествами) имеется бесчисленное множество прямых Чтобы получить уравнение одной из них, берем на (рис. 179) произвольную точку и составляем уравнение прямой, проходящей через по направлению вектора где

Пример 1. Найти уравнения общего перпендикуляра к прямым

Решение. Имеем

Рис. 178

Рис. 179

Искомый перпендикуляр представляется уравнениями

или после упрощений

Точку пересечения общего перпендикуляра с прямой (3) найдем из системы (3)-(6). Получим . Аналогично получим Длина общего перпендикуляра равна

Пример 2. Найти уравнения общего перпендикуляра к прямым

Прямые параллельны: Направляющий вектор общего перпендикуляра или, умножая на За начальную точку примем произвольную точку прямой (7). Получим уравнение общего перпендикуляра

где произвольное число. Чтобы найти точку пересечения общего перпендикуляра (9) с прямой (8), надо подставить выражения (8) в уравнение (9). Получим:

Любое из содержащихся здесь уравнений дает ; подставляя в (8), находим так что