§ 459. Площадь куска поверхности

Пусть некоторый кусок (рис. 456) поверхности проецируется на область плоскости на рис. 456), причем в каждую точку области проецируется только одна точка рассматриваемого куска.

Тогда площадь куска выражается двойным интегралом:

Пояснение. Пусть у — угол между касательной плоскостью в точке и плоскостью Тогда (§§ 127, 436) . Цилиндрическая поверхность, имеющая основанием элемент на рис. 456), отрезает от плоскости кусок . Площадь последнего равна . Площадь того элемента поверхности который проецируется на элемент приближенно равна площади куска так что сумма площадей кусков в пределе дает :

Отсюда получается формула (1) (§ 451).

Пример. Найти площадь верхнего основания тела Вивиани (§ 458, пример 3).

Рис. 456

Решение. Имеем:

Искомая площадь равна

Область ограничена окружностью

Выражая двойной интеграл через полярные координаты (§ 458), получаем:

Выполняя интегрирование, находим:

Замечание 1. Мы приняли, что сумма площадей в пределе дает площадь Это свойство (оно согласуется с наглядными представлениями, порожденными опытом) часто принимают за определение. Последнее формулируется следующим образом.

Определение. Рассматриваемый кусок поверхности разбиваем на части в каждой части выбираем по точке Через точки проводим касательные плоскости и проецируем на соответствующую касательную плоскость прямыми, параллельными Площадь куска есть предел, к которому стремится сумма площадей проекций при неограниченном измельчении частей.

Условия, указанные в сноске на с. 777, обеспечивают существование этого предела.

Замечание 2. При таком определении надо не только установить наличие предела, но и доказать его

независимость от выбора системы координат. Последняя задача отпадает, если изменить определение, а именно проецировать на плоскость по направлению, перпендикулярному Но тогда усложняется вывод формулы (1).