§ 261. Высшие производные неявных функций

Чтобы найти последовательные производные функции у аргумента заданной неявно каким-либо уравнением, надо последовательно дифференцировать это уравнение, т. е. приравнивать дифференциалы (или производные) правой и левой частей. Получим ряд равенств; из первого равенства найдем выражение у через второе (с учетом найденного выражения даст выражение через третье (с учетом найденных выражений ) даст . В частных случаях возможны упрощения.

Пример. Найти производные до третьего порядка функции заданной уравнением

и определить значения этих производных в точке (3; 4).

Решение. Приравнивая дифференциалы, получаем:

откуда

Приравнивая дифференциалы обеих частей (2а), находим

откуда

Дифференцируем еще раз

откуда

Из (2а) находим:

Из (3а) находим: ; учитывая (5), получаем:

Из (4а), учитывая (5) и (6), находим:

Подставляя в (5), (6) и (7), находим:

Замечание 1. В данном случае можно упростить вычисление. В силу уравнения формула (6) принимает вид Отсюда .

Замечание 2. Нет необходимости выводить (3а) из (3), (4а) из (4) и т. д. Можно сразу брать производные. Но предварительное вычисление дифференциалов страхует от некоторых ошибок, свойственных начинающим (для производной от пишут вместо и т. п.; ср. § 238, замечание).