§ 51. Директрисы эллипса и гиперболы

1. Директрисы эллипса. Пусть дан эллипс (рис. 61) с большой осью и эксцентриситетом (§ 41) . Пусть (т. е. эллипс не является окружностью). Отложим от центра О эллипса на его большой оси отрезки равные (т. е. ).

Прямые проходящие соответственно через и параллельные малой оси, называются директрисами эллипса.

Каждой из директрис поставим в соответствие тот фокус эллипса, который лежит по ту же сторону от центра, т. е. директрисе фокус а директрисе фокус Тогда для любой точки эллипса отношение расстояния от нее до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно эксцентриситету т. е.

Так как для эллипса то всякая точка эллипса ближе к фокусу, чем к соответствующей директрисе.

Если большая ось эллипса остается неизменной, а эксцентриситет стремится к нулю (т. е. эллипс все меньше отличается от окружности), то директрисы неограниченно удаляются от центра. У окружности директрис нет.

2. Директрисы гиперболы. Пусть (рис. 62)

Рис. 101

Рис. 66

есть действительная ось гиперболы, а — ее эксцентриситет (§ 44). Откладываем

(т. е. ). Прямые проходящие соответственно через и параллельные мнимой оси, называются директрисами гиперболы. Для любой точки гиперболы отношение расстояния от нее до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы (см. п. 1) равно эксцентриситету т. е.

Так как для гиперболы то всякая точка гиперболы ближе к директрисе, чем к соответствующему фокусу.