§ 495. Случаи понижения порядка

Иногда дифференциальное уравнение второго или более высокого порядка допускает понижение порядка. Важнейшими являются следующие два случая.

Случай 1. Уравнение не содержит у. Тогда в качестве неизвестной функции берется величина

Пример 1. Проинтегрировать уравнение второго порядка

Решение. Принимая у за неизвестную функцию, перепишем (1) в виде

Это — уравнение первого порядка (с неизвестной функцией Умножив его на получим уравнение

в полных дифференциалах (§ 484), так что общий интеграл уравнения (2) есть

Теперь вернемся к прежней неизвестной функции у и запишем уравнение (3) так:

Интегрируя уравнение (3а), находим:

Это — общее решение уравнения (1).

Случай 2. Уравнение не содержит Тогда в качестве неизвестной функции опять берется но за аргумент (вместо принимаем у. При этом производные второго и высших порядков преобразуем по формулам

Пример 2. Проинтегрировать уравнение второго порядка

Решение. Применив формулу (5), преобразуем (7) к виду

Это — уравнение первого порядка (переменные ). Общий интеграл уравнения (8) есть

Возвращаясь к прежним переменным х, у, записываем (9) в виде

Интегрируя, находим:

откуда

(знак включен в постоянную ).

Это — общее решение уравнения (8); его можно преобразовать к виду

где