§ 248. Дифференциал в приближенных вычислениях

Часто бывает так, что функцию и ее производную легко вычислить при а для значений близких к а, непосредственное вычисление функции затруднительно. Тогда пользуются приближенной формулой

Она выражает, что приращение функции при малых значениях приближенно равно дифференциалу (ср. § 228, теорема 2).

Ниже (§ 265) указан способ оценки погрешности формулы (1), но часто оценка связана с громоздкими подсчетами. При грубых вычислениях часто довольствуются формулой (1).

Пример 1. Извлечь квадратный корень из 3654. Решение. Надо найти значение функции при Легко вычисляются значения при Формула (1) при дает: Здесь все знаки верны.

Пример 2. Найти .

Решение. Полагаем так что (§ 245) Формула (1) при

Этот результат грубоват (с точностью до четвертой значащей цифры ).

Если таким же образом вычислить (теперь получим 102,3. Здесь все знаки верны.

Пример 3. Найти без таблиц

Решение. Полагаем

0,0175 радиана; тогда имеем: . Значит .

Неверен только последний знак; из таблиц имеем .

Полезно заметить следующие приближенные формулы (а - малая величина):