§ 444. Полные дифференциалы высших порядков

Образуем полное приращение функции (§ 427); затем, сохраняя те же значения , образуем полное приращение величины

(рассматривая ее как функцию х, у). Получим вторую разность функции 2.

Пусть распадается на сумму двух членов:

где не зависят ни от ни от имеет высший порядок относительно Тогда первый член называется вторым (полным) дифференциалом функции 2 и обозначается

Пример 1. Рассмотрим функцию Находим:

где а имеет высший порядок относительно Первый же член суммы (2) имеет вид причем величины не зависят ни от ни от Следовательно, первый член есть второй дифференциал функции

Теорема 1. Величины в формуле (1) равны соответствующим вторым частным производным функции

Пример 2. В предыдущем примере мы имели:

Выражение второго дифференциала. В силу теоремы 1 имеем:

Замечание. Так как

(§ 430, замечание 1), то вместо (4) можно записать:

В противоположность соответствующему выражению первого дифференциала (ср. § 432) формула (5), как правило, не верна, если х и у не являются аргументами (ср. сноску в § 258);

Теорема 2. Если считать дифференциалы dx, dy не зависящими ни от х, ни от у, то второй дифференциал равен дифференциалу от первого дифференциала (ср. § 258, теорема 2):

Пример 3. Пусть Имеем:

Дифференцируем еще раз, считая постоянными. Получим:

А это — второй полный дифференциал функции (см. пример 1).

Полные дифференциалы третьего, четвертого и т. д. порядков ) определяются аналогично и выражаются следующими формулами:

Числовые множители равны соответствующим биномиальным коэффициентам.

Формулы (7), (8) и т. д., как правило, не верны, если х и у не являются аргументами.

Все вышесказанное распространяется и на функции трех и большего числа переменных.