§ 225. Касательная

Касательной к линии в точке (рис. 224) называется прямая с которой стремится совпасть секущая когда точка оставаясь на стремится к будь то справа или слева.

Замечание. Из рис. 225 видно, что касательная может, кроме точки касания, иметь с кривой другие общие точки.

Рис. 224

Рис. 225

Рис. 226

Если линия есть график функции то угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в соответствующей точке.

Это видно из рис. 226. Угловой коэффициент секущей равен

Если стремится к то имеет пределом угловой коэффициент касательной. Значит, т. е. (§ 224)

Пример 1. Найти угловой коэффициент и уравнение касательной к параболе в точке (рис. 227).

Решение. Имеем (§ 224, пример 2). При получаем . Искомый угловой коэффициент касательной Уравнение касательной будет т. е.

Пример 2. Найти уравнение касательной к линии (синусоида, рис. 228) в точке

Рис. 227

Рис. 228

Решение. Имеем (§ 224, пример 3). При получаем Уравнение касательной есть

Отметим, что синусоида располагается по обе стороны от касательной

Пример 3. Угловой коэффициент прямой линии (он равен а) есть производная функции (касательная к прямой линии есть она сама).